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중력 방향 바꾸기
Change of Gravity Direction

김명호(MyungHo Kim)

요약

상대방 힘을 빗겨 나가게 하거나 되돌려 타격한다는 무협소설의 태극권(太極拳), 비행접시의(UFO) 움직임이 원심력에 크게 영향을 받지 않았다는 목격담들 등, 우리가 알고 있는 물리법칙의 힘을 소멸시키거나 바꾸는 황당하게 들리는 현상들에 대한 얘기를 하고자 한다.
이 현상들이 아주 황당하지만은 않을 수 있다는 것을, 이 짤막한 논문에서, 우리에게 익숙한 세차운동을(precession) 들여다 봄으로써 풀어 보고자 한다. 구체적으로 말해서,

(1) 회전하는 팽이의 세차운동을 가능케 하는 힘과 중력의 관계에 대한 파인만(Feynman)식 분석방법과(참고문헌 [1])
(2) 갈릴레이(Galilei), 아인슈타인(Einstein)의 사고실험의 맥락으로 보면,

세차운동은 중력의 방향을 바꾼 결과로 볼 수 있고, 나아가 힘의 방향을 바꿀 수 있는 가능성을 엿볼 수 있다는 거다.


이야기를 쉽게 풀어가기 위하여 먼저 머리회전에 도움될 선배 과학자들의 사고실험의 관찰•직관에 대한 얘기부터 시작하자.

1. 사고실험들

(1) 갈릴레이의 사고실험


출처: http://blogs.bu.edu/ggarber/archive/bua-physics/galileo-aristotle-and-inertia/
갈릴레이는 오른쪽 그림들과 같은 마찰을 최소한 곳에서 공 굴리는 실험하였는데, 왼쪽 경사 높이(=h)에서 공을 자연스럽게 놓는 경우, 오른쪽 경사의 기울기에 관계없이 항상 같은 높이 h에 도달한다는 것을 관찰하였단다.
그리고는 세번째 그림과 같이 오른쪽에 경사가 없는 경우에는 도달할 높이가 없으므로 무한정 굴러갈 수 밖에 없다는 결론을 내렸다고 한다. 즉 구르기 시작한 공은, 힘을(마찰과 같은 저항) 받지 않는 한, 영원히 구른다는 관성의 법칙을 세웠고, 뒷날 뉴튼의 3가지 운동법칙 중 첫번째 공리로 받아들여졌다.

(2) 아인슈타인의 사고실험
로켓안의 사람은, 로켓 뒤에 큰 질량의 지구가 있을 때와 가속 추진하는 로켓의 차이를 구별할 수 없다는 사실로 부터(아래 그림1), 중력은 가속도의 로켓에 같은 효과를 준다는 과감한 결론을 내렸다(* 중력과 가속도 등가원리).
그리고는 가속도의 로켓 천장 구멍을 통과한 빛이 구부러질 수 밖에 없는 사실로 부터(아래 그림2), 가속도와 같은 효과를 같는 중력의 혹성 근처를 등속으로 지나는 로켓 천장 구멍을 통과하는 빛도 구부러질 수 밖에 없기에 만류인력 법칙에 의하여 '빛은 질량을 가질 수 밖에 없다'는 결론에 도달하였단다.

그림1: 로켓안이나 지구 위에 있는 로켓안의 사람이 느끼는 효과는 같다

출처: https://www.physicsoftheuniverse.com/topics_relativity_gravity.html
그림2: 로켓안으로 들어오는 빛을 보는 관측자

등속

가속

위와 같은 생각의 흐름을 지니고 회전팽이의 움직임을 보자.

2. 회전팽이의 세차운동을 가능케 하는 힘에 대하여

Feynman식 분석에 들어가기 전, 회전체 운동에 대한 기본 정의와 주목할 것들을 간단하게 정리해보면

Angular momentum, torque, 작용-반작용에 대한 '간단 정리'

3차원 좌표계에서 원점 O로부터 vector r 위치의 질량 m 입자가 v 속도로 운동하고 있는 경우(t: 시간, ⨯: cross product), 그 입자의
1. Definition: Angular momentum about O = r ⨯ mv
2. Definition: Torque about O= r ⨯ d(mv)/dt, => torque= rF, F =d(mv)/dt
3. Theorem: angular momentum 변화가 있는 곳에 반드시 토크가 존재하고, 그 역도 성립한다.
4. 작용-반작용 axiom: 원심력과 구심력의 뉴튼의 제3 운동법칙, 전자기 작용-반작용을 서술한 Maxwell's equation 등에서 마찬가지로 angular momentum 변화를 상쇄하는 쪽으로 작용한다는 법칙

그리고 아래 그림과 같이 약간 기운 회전팽이를 보자, (1) vector G: 팽이 무게중심 M에 얹히는 중력 (2) vector L: 팽이의 total angular momentum vector about O(참조: [1]), 즉 팽이의 각 점의 angular momemtum의 총합.

위 그림과 같이 회전축이 기운 경우,
(1) 팽이의 무게 중심 M에 중력 G가 얹히고 그로 인한 토크에 이어 '간단정리3'에 의하여, vector L에 순간적인 변화압력, 즉 토크가 vector d 방향으로 생기고
(2) 위 '간단정리4'에 의하여, 그 토크에 반발하는 반대방향의 토크가 발생한다.
(3) 그 반작용 토크는, '간단정리2'의 '토크= 위치벡터 ⨯ 힘' 등식에 의하여, vector -d 와 vector L에 수직인 힘이다. 그리고 그 힘에 의하여 팽이는 세차운동을 하게 된다는 것.

알기쉬운 기하학적 그림 설명은 다음과 같다.
vector d 와 vector L로 이루어진 평면에 대하여, 좌우 대칭인 팽이의 임의의 두 점 r1, r2를 고르고 원점과 그 두점을 통과하는 평면을 그리면 아래와 같다.

두 점 r1, r2 에서의 반작용 토크는 같고 방향은 평면에 수직이므로, cross product 정의에 의하여 그 토크를 발생시키는 힘은 각각 F1, F2. 여기서 주목할 사실은 F3(=-F2)는 F1과 직선 OP에 대하여 좌우 대칭이라는 것. 따라서, F1, F2를 수평과 수직 방향으로(직선 l) 분해하면, 수직 방향은 서로 상쇄되고 수평 방향만 남는다, 즉 vector (r1-r2)와 평행인 방향.

그리고 일단 세차운동을 하게 되면 vector L의 순간적 변화 방향이 바뀐다. 그리고 그 변화를 상쇄하는 힘이 발생한다, 즉 원운동의 구심력과 같이 기운 회전팽이를 세우는 힘으로.(* 위와 같은 분석으로)

3. 결론:

팽이의 각점에서의 힘은 vector d 와 vector L로 이루어진 평면에 수직이고 그 힘을 모두 더하면, 아래 그림과 같이 무게중심에서 가해지는 F 로 표현된다.

여기서 위1에서 설명한 사고 흐름을 따르면, 중력 G가 힘 F 를 제공, 즉 방향을 바꾼 힘으로 나타난 것. 다시 말해서, 바닥으로 잡아당기는 중력이 중력과 수직인 방향의 힘으로 바뀐 거라고 말할 수 있지 않느냐 말이다.

그리고 세차운동을 시작하는 순간 팽이를 z축 방향으로 미는 힘을 생성시킨다.
팽이처럼 고체는(rigid body) 아니지만, 돌개바람의(tornado) 움직임도 이러한 맥락으로 이해할 수 있다.

참고 문헌
[1] The Feynman Lectures on Physics, Volume I, 20-6


created: 2019.4.26
[email protected] Copyright© 2019 by SeokgungK press. All right reserved.


자연과학연구 방법에 대하여

E=mc2 도출에 대한 Feynman의 요약

2019.5.21

밖을 내다보지 않는 한, 기차안에 있는 승객은 기차가 '등속으로 움직이는지 정지해 있는지(기차에 힘이 가해지지 않는 상태)' 알 수 없기에 물리학자들은 '힘이 가해지지 않는 좌표계에서의(inertial frame) 물리실험 결과는 항상 같아야 한다'는 원칙를 세웠다.
실험결과를 수식으로 표현하자면 (x, y, z), (x′, y′, z′) 두 좌표계가 아래 관계인 경우(Galilean transformation), 'invariant under Galilean transformation' 즉, 각 좌표계로 표시된 물리 공식이 똑 같은 형태이어야 한다는 것. 여기서 u는 좌표계가 x축 방향으로 움직이는 상대적인 속력 상수.

x′=x - ut, y′=y, z′=z, t′= t

이 현상을 갈릴레이-뉴튼의 상대성 원리라고 불러왔다. 예를 들면, 시속 10km로 달리는 자동차에서 시속 20km의 총을 쏘면 총알은 시간당 30km로(= 자동차 속도 10+ 총알 속도 20) 날아간다는 것.
학계에 널리 받아 들여진 이 상대성 원리는,
1687년 경 발표된 뉴튼의 운동법칙 중 유일하게 수식 표현되는 제2 운동법칙 F= d(mv)dt질량 m이 변하지 않는 경우(* F= mdvdt) 미분의 chain rule로 갈릴레이 transformation에 대하여 invariant하다는 것을 쉽게 입증할 수 있는 등 많은 물리현상 설명에 큰 무리가 없었다. 1862년 경 발표된 Maxwell's equations가 위 transformation에 대하여 invariant하지 않다는 불편한 모순을 품고 있었지만, 기계문명이 발달하여 정밀한 Michelson- Morley의 실험결과를 얻을 수 있을 때까지는...
E=mc2은 이 실험결과와 뉴튼 법칙을 아우르는 이론을 개발하려는 과학자들의 통찰력의 결과로서, 일련의 사건은 다음과 같다.

1. 1887년 '빛의 속도가 관측자의 속도에 관계없이 일정하다'는 Michelson- Morley의 실험결과, 즉 총알을 빛이라고 하면 관측자 속도를 더하거나 빼야하는 위의 기존 상대성 원리에 모순되는 결과라는 것. 이 께름칙한 결과와 어울리는 해명 시도 끝에
2. 1892년 Lorentz(FitzGerald–Lorentz contraction hypothesis)는 뒷날 'Lorentz transformation'이라고 불리게 된 transformation

t =  (t − (ux)/(c2)/((α, x =  (x − ut)/((α,  y = y, z = z,  α = 1 − (u2)/(c2

을 발견하였고 주목해야 할 특성은 Maxwell's equations가 그 transformation에 대하여 invariant 하다는 것.
3. 1905년 Poincaré가 모든 물리 수식은 Lorentz transformation invariant해야 한다는 제안을 하였고,

4. 그를 받아들인 Einstein은 F = (dm(dx)/(dt))/(dt) 이 Lorentz transformation invariant하도록
m = (m0)/((γ)) 로 수정, 여기서 γ = 1 − (((dx)/(dt))2 + ((dy)/(dt))2 + ((dz)/(dt))2)/(c2), m0 정지 질량


* 아래 계산은 invariant 이해를 돕기 위하여, 입자가 x 축 상에서만 움직이는 간단한 경우, 즉 γ = 1 − ( ((dx)/(dt))2 )/(c2)

F = dmdx)/(dt)/(dt, m =  m0)/(1 − dx)/(dt 2)/(c2 의 Lorentz invariant 증명(비교: 일반적인 경우의 증명)

(1)dx)/(dt =  dx)/(dt)/(dt)/(dt =  x)/(t dt)/(dt + x)/(xdx)/(dt)/(t)/(t dt)/(dt + t)/(xdx)/(dt =   − u)/(α + 1)/( α dx)/(dt)/( 1)/(α − u)/(c2αdx)/(dt =   − u + dx)/(dt)/(1 −  u)/( c2dx)/(dt =   − u + dx)/(dt)/(β

(2) d2x)/(dt’2 =  ddx)/(dt)/(dt =  d( − u + dx)/(dt)/(1 − u)/(c2dx)/(dt))/(dt)/(dt)/(dt  =  d2x)/(dt2β +  u)/(c2d2x)/(dt2( − u + dx)/(dt))/( β2)/(1)/(α − u)/(c2 αdx)/(dt =  d2x)/(dt2 − u2)/(c2d2x)/(dt2)/(β2(1)/( α − u)/(c2 αdx)/(dt) =  α3)/(2 d2x)/(dt2)/(β3
where β =  1 − u)/(c2dx)/(dt.

A =  1 − dx)/(dt2)/(c2 라 놓고 (1)과 (2)를 대입하면,

dA − 1)/(2)/(dt =   − 1)/(2A − 3)/(2dA)/(dt =   − 1)/(2A − 3)/(2( − 2)/(c2dx )/(dtd2x)/(dt2) =  1)/(c2A3)/(2dx)/(dtd2x)/(dt2
F =  dmdx)/(dt)/(dt =  md)/(dt(A − 1)/(2dx)/(dt) =  m0d)/(dtA − 1)/(2dx)/(dt + m0A − 1)/(2d2x)/(dt2
 = m01)/(c2A3)/(2d2x)/(dt2dx)/(dt2 + m0A − 1)/(2d2x)/(dt2  = m01)/(c2A3)/(2d2x)/(dt2(dx)/(dt2 + c2A)  = m0)/(A3)/(2d2x)/(dt2
(3)  ⇒ F =  m0)/(A3)/(2d2x)/(dt2

그리고

A =  1 − dx)/(dt2)/(c2  = 1 −  − u + dx)/(dt2)/(β2c2  = c21 − u)/(c2dx)/(dt2 −  − u + dx)/(dt2)/(β2c2
 = αc2 − dx)/(dt2)/(β2c2  = αA)/(β2
(4)  ⇒ A3)/(2 =  α3)/(2A3)/(2)/(β3

마침내, (2), (3) (4)를 대입하여

F  = dmdx)/(dt)/(dt  = m0)/(A3)/(2d2x)/(dt’2  = m0)/(A3)/(2 α3)/(2 d2x)/(dt2)/(β3  = m0)/(A3)/(2 d2x)/(dt2 =  F, 증명 끝.

5. 아인슈타인의 질량, m  = (m0)/ ( ( 1 −  (v2)/(c2) )) 의 power series는 m0(1 + (1)/(2)(v2)/(c2) + (3)/(8)(v2)/(c2) + ⋯) 이고,
빛의 속도에 비하여 속도 v가 작을 경우,

mm0 + ( 1)/(2) m0v2((1)/(c2))
m − m0  = △m(1)/(2)m0v2((1)/(c2)) = (kineticenergy)/(c2)
KineticEnergy = △mc2

바로 이 마지막 등식이 아인슈타인으로 하여금 E = m0c2이라는 직관적 결론으로 이끈 것.