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중력 방향 바꾸기
Change of Gravity Direction

김명호(MyungHo Kim, mkim1795 - gmail.com)

요약

상대방 힘을 빗겨 나가게 하거나 되돌려 타격한다는 무협소설의 태극권(太極拳), 비행접시의(UFO) 움직임이 원심력에 크게 영향을 받지 않았다는 목격담들 등, 우리가 알고 있는 물리법칙의 힘을 소멸시키거나 바꾸는 황당하게 들리는 현상들에 대한 얘기를 하고자 한다.
이 현상들이 아주 황당하지만은 않을 수 있다는 것을, 이 짤막한 논문에서, 우리에게 익숙한 세차운동을(precession) 들여다 봄으로써 풀어 보고자 한다. 구체적으로 말해서,

(1) 회전하는 팽이의 세차운동을 가능케 하는 힘과 중력의 관계에 대한 파인만(Feynman)식 분석방법과(참고문헌 [1])
(2) 갈릴레이(Galilei), 아인슈타인(Einstein)의 사고실험( thought experiment)의 맥락으로 보면,

세차운동은 중력의 방향을 바꾼 결과로 볼 수 있고, 나아가 힘의 방향을 바꿀 수 있는 가능성을 엿볼 수 있다는 거다.


이야기를 쉽게 풀어가기 위하여 먼저 머리회전에 도움될 선배 과학자들의 사고실험의 관찰•직관에 대한 얘기부터 시작하자.

1. 사고실험들

(1) 갈릴레이의 사고실험


출처: http://blogs.bu.edu/ggarber/archive/bua-physics/galileo-aristotle-and-inertia/
갈릴레이는 오른쪽 그림들과 같은 마찰을 최소한 곳에서 공 굴리는 실험하였는데, 왼쪽 경사 높이(=h)에서 공을 자연스럽게 놓는 경우, 오른쪽 경사의 기울기에 관계없이 항상 같은 높이 h에 도달한다는 것을 관찰하였단다.
그리고는 세번째 그림과 같이 오른쪽에 경사가 없는 경우에는 도달할 높이가 없으므로 무한정 굴러갈 수 밖에 없다는 결론을 내렸다고 한다. 즉 구르기 시작한 공은, 힘을(마찰과 같은 저항) 받지 않는 한, 영원히 구른다는 관성의 법칙을 세웠고, 뒷날 뉴튼의 3가지 운동법칙 중 첫번째 공리로 받아들여졌다.

(2) 아인슈타인의 사고실험
로켓안의 사람은, 로켓 뒤에 큰 질량의 지구가 있을 때와 가속 추진하는 로켓의 차이를 구별할 수 없다는 사실로 부터(아래 그림1), 중력은 가속도의 로켓에 같은 효과를 준다는 과감한 결론을 내렸다(* 중력과 가속도 등가원리).
그리고는 가속도의 로켓 천장 구멍을 통과한 빛이 구부러질 수 밖에 없는 사실로 부터(아래 그림2), 가속도와 같은 효과를 같는 중력의 혹성 근처를 등속으로 지나는 로켓 천장 구멍을 통과하는 빛도 구부러질 수 밖에 없기에 만류인력 법칙에 의하여 '빛은 질량을 가질 수 밖에 없다'는 결론에 도달하였단다.

그림1: 로켓안이나 지구 위에 있는 로켓안의 사람이 느끼는 효과는 같다

출처: https://www.physicsoftheuniverse.com/topics_relativity_gravity.html
그림2: 로켓안으로 들어오는 빛을 보는 관측자

등속

가속

위와 같은 생각의 흐름을 지니고 회전팽이의 움직임을 보자.

2. 회전팽이의 세차운동을 가능케 하는 힘에 대하여

Feynman식 분석에 들어가기 전, 회전체 운동에 대한 기본 정의와 주목할 것들을 간단하게 정리해보면

Angular momentum, torque, 작용-반작용에 대한 '간단 정리'

3차원 좌표계에서 원점 O로부터 vector r 위치의 질량 m 입자가 v 속도로 운동하고 있는 경우(t: 시간, ⨯: cross product), 그 입자의
1. Definition: Angular momentum about O = r ⨯ mv
2. Definition: Torque about O= r ⨯ d(mv)/dt, => torque= rF, F =d(mv)/dt
3. Theorem: angular momentum 변화가 있는 곳에 반드시 토크가 존재하고, 그 역도 성립한다.
4. 작용-반작용 axiom: 원심력과 구심력의 뉴튼의 제3 운동법칙, 전자기 작용-반작용을 서술한 Maxwell's equation 등에서 마찬가지로 angular momentum 변화를 상쇄하는 쪽으로 작용한다는 법칙

그리고 아래 그림과 같이 약간 기운 회전팽이를 보자, (1) vector G: 팽이 무게중심 M에 얹히는 중력 (2) vector L: 팽이의 total angular momentum vector about O(참조: [1]), 즉 팽이의 각 점의 angular momemtum의 총합.

위 그림과 같이 회전축이 기운 경우,
(1) 팽이의 무게 중심 M에 중력 G가 얹히고 그로 인한 토크에 이어 '간단정리3'에 의하여, vector L에 순간적인 변화압력, 즉 토크가 vector d 방향으로 생기고
(2) 위 '간단정리4'에 의하여, 그 토크에 반발하는 반대방향의 토크가 발생한다.
(3) 그 반작용 토크는, '간단정리2'의 '토크= 위치벡터 ⨯ 힘' 등식에 의하여, vector -d 와 vector L에 수직인 힘이다. 그리고 그 힘에 의하여 팽이는 세차운동을 하게 된다는 것.

알기쉬운 기하학적 그림 설명은 다음과 같다.
vector d 와 vector L로 이루어진 평면에 대하여, 좌우 대칭인 팽이의 임의의 두 점 r1, r2를 고르고 원점과 그 두점을 통과하는 평면을 그리면 아래와 같다.

두 점 r1, r2 에서의 반작용 토크는 같고 방향은 평면에 수직이므로, cross product 정의에 의하여 그 토크를 발생시키는 힘은 각각 F1, F2. 여기서 주목할 사실은 F3(=-F2)는 F1과 직선 OP에 대하여 좌우 대칭이라는 것. 따라서, F1, F2를 수평과 수직 방향으로(직선 l) 분해하면, 수직 방향은 서로 상쇄되고 수평 방향만 남는다, 즉 vector (r1-r2)와 평행인 방향.

그리고 일단 세차운동을 하게 되면 vector L의 순간적 변화 방향이 바뀐다. 그리고 그 변화를 상쇄하는 힘이 발생한다, 즉 원운동의 구심력과 같이 기운 회전팽이를 세우는 힘으로.(* 위와 같은 분석으로)

3. 결론:

팽이의 각점에서의 힘은 vector d 와 vector L로 이루어진 평면에 수직이고 그 힘을 모두 더하면, 아래 그림과 같이 무게중심에서 가해지는 F 로 표현된다.

여기서 위1에서 설명한 사고 흐름을 따르면, 중력 G가 힘 F 를 제공, 즉 방향을 바꾼 힘으로 나타난 것. 다시 말해서, 바닥으로 잡아당기는 중력이 중력과 수직인 방향의 힘으로 바뀐 거라고 말할 수 있지 않느냐 말이다.

그리고 세차운동을 시작하는 순간 팽이를 z축 방향으로 미는 힘을 생성시킨다.
팽이처럼 고체는(rigid body) 아니지만, 돌개바람의(tornado) 움직임도 이러한 맥락으로 이해할 수 있다.

참고 문헌
[1] The Feynman Lectures on Physics, Vol I, 20-6


created: 2019.4.26
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* 파인만의 업적:
• 파인만은 노벨 물리학상을 받았다.
하여 많은 사람들은 노벨상 받게 된 파인만 다이어그램(Feynman diagram)을 그의 최고 업적으로 생각한다.
• 어디선가에서 봤다.
파인만이 '나의 최고 작품은 칼텍(Caltech) 1-2학년 학부생 상대로 한 강의(The Feynman Lectures on Physics, 1962년 즈음)'라고 했단다.... 약 200명 정도가 수강신청하였고, 시간이 감에 따라 따라가지 못하는 학생들이 수강 취소하여 약 5-60명 정도만 남았음에도 강의실 사람 수가 줄지 않았다고. 알고 보니 대학원생과 교수들이 들어왔단다.
• 파인만에 동의한다.
파인만 강의는 결과들을 단순 나열한 것이 아니라 그 결과가 나오기까지의 과정을 자신이 이해한 방식으로 설명하였다. 다시 말해서, 파인만은 '과학 연구함에 있어 가장 중요한 방법론, 접근, 출발... 어떻게 시작, 생각해야 하는 가'를 얘기해 주었기 때문이다, 다른 물리학 강의에서는 들을 수 없는.


내가 이해한 학문적 연구 방법, 직관•통찰

위인전과 수업 중 들은 과학자들 얘기에 가슴이 뛰던 어린 시절, 어떻게 하면 저렇게 할 수 있을까?
입시에 쫓겨 지식을 쑤셔 넣으면서도 어떻게 저런 생각을 할 수 있을까?
초기조건이 주어진 미분방정식 해는 유일하다... 시간과 거리의 관계 등을 생각하게 되며 아이디어가 떠오르게 된 실마리 내지 과정이 있을 거라는 확신이 들었다.
60 넘어 운 좋게도, 뭣도 모르고 쑤셔 넣기만 했던 지식을 돌아볼 기회가 왔다. 단순한 결과나 설익은 전문 용어들만 줏어 섬기는 것이 아닌, 어떠한 과정으로 선배 과학자들이 그런 절묘한 결론에 도달하게 되었는가하는 직관, 통찰의 실마리에 대하여. 맨날 남이 한 연습 문제나 풀고 있을 수 있나? 크던 작던 선배들의 방법을 체득하여 자신만의 작품을 만들어 봐야 하지 않겠는가 말이다.

(1) 초기조건의 미분방정식 해는 유일: 유클리드(Euclid)의 제5공리, '한 직선 밖의 한 점을 지나면서 평행을 이루는 직선은 오직 하나이다'으로부터 '한 직선 밖의 한 점을 지나는 평행선'이 초기조건.
미분방정식은 각각의 단계(at each stage)에서 가는 방향을 정해준 식으로 특히 그 각각의 단계가 무한히 작은 단계인 것. 그 반면 마르코프 체인은(Markov chain) 그 각각의 단계가 흩어져(discrete) 있고 가능한 방향이 여러 개라는 것. 하여 무한소의 특별한 경우에, Markov chain는 미분방정식으로 나타나다.
(2) 시간과 거리의 관계: 해가 동쪽에서 떠서 서쪽으로 지는 그 기간과 그 거리, 갈릴레이의 관찰 => 피사 천장에 달린 진자가 왔다갔다하는 시간과 맥박의 일치
(3) 경제학, 정치학 등 인문 과학에서 나오는 1-2차 수식들:
관심 대상이 몇개의 변수와 관련있다는 것을 수식으로 표현하면 y=f(x1, x2....). 그리고 웬만한 함수들은 테일러 급수(Taylor series)로 표시할 수 있고 3제곱, 4제곱 이상은 계산도 복잡하고 귀찮으니 근사식 y=a0+a1x1+a2 x2 에서 출발하여 계수들 ai 조정하는 것.
(4) 생명, 소멸 관련의 e(Poisson):
방사성 붕괴에서 기인한 것으로 어떠한 물질의 양이 초기값의 절반이 되는데 걸리는 시간을(반감기) 표현하는 미분방정식 \begin{equation} \frac{df}{dt}=-\frac12f \end{equation}

으로부터 나온다.


*E=mc2 에 대한 Feynman의 요약(The Feynman Lectures on Physics, Vol I, 15)

2019.5.21

밖을 내다보지 않는 한, 기차안에 있는 승객은 기차가 '등속으로 움직이는지 정지해 있는지(기차에 힘이 가해지지 않는 상태)' 알 수 없기에 물리학자들은 '힘이 가해지지 않는 좌표계에서의(inertial frame) 물리실험 결과는 항상 같아야 한다'는 원칙를 세웠다(principle of relativity).
실험결과를 수식으로 표현하면 (x, y, z), (x′, y′, z′) 두 좌표계가 아래와 같이 좌표 전환할 때(Galilean transformation, 킬로로 표시된 무게를 파운드로 변환하는 식 같은 것), 'invariant under Galilean transformation' 즉, 각각의 좌표계로 표현된 물리 공식이 똑 같은 형태이어야 한다는 것. 여기서 u는 좌표계가 x축 방향으로 움직이는 상대적인 속력 상수. \begin{equation} x'=x-ut, \, y'=y, \, z'= z, \, t'=t \end{equation}

이 현상을 갈릴레이-뉴튼의 상대성 원리라고 불러왔다. 학계에 널리 받아 들여진 이 상대성 원리는 1687년 경 발표된 뉴튼의 운동법칙과 함께 많은 물리현상 설명에 큰 무리가 없었다.
F = m(dv)/(dt)(F = (dmv)/(dt) 에서 질량 m 이 상수인 경우)이 갈릴레이 transformation invariant하다는 것을 쉽게 입증될 수 있는 반면, 1862년 경 발표된 Maxwell's equations가 invariant하지 않다는 불편한 모순을 품고 있었지만, 기계문명이 발달하여 정밀한 Michelson- Morley의 실험결과를 얻을 수 있을 때까지는...

E=mc2은 이 실험결과와 뉴튼 법칙을 아우르는 이론 개발하려는 과학자들의 통찰력의 결과로서, 일련의 사건은 다음과 같다.

1. 1887년, Michelson- Morley는
(1) 빛의 속도는 관측자의 운동 방향과 관계없이 항상 일정하다는 것과(빛의 속도를 c 라 표시)
(2) 빛의 매질 에터르(aether)내에서 지구 속도는 '0'이라는 황당한 결과를 얻었고(주목: 위 갈릴레이 전환 t′= t 에서도 명시했듯이, 당시에는 시간은 불변이라고 생각), 이 결과를 설명하려는 시도 끝에

2. 1892년, Lorentz는 운동 방향으로의 길이 축소와 시간 지연을 제안하였다. 그것이 뒷날 'Lorentz transformation'이라고 불리게 된 transformation(FitzGerald–Lorentz contraction hypothesis) \begin{equation} t'=\frac{t-\frac{ux}{c^2}}{\sqrt{\alpha}}, \, x'=\frac{x-ut}{\sqrt\alpha}, \,y'=y,\, \alpha=1-\frac{u^2}{c^2}\end{equation}

로렌즈의 제안이 마이켈슨 실험에 꿰어 맞추기 위한 인위적 조작이라는 느낌이 켕겼지만, Maxwell's equations가 그 transformation에 대하여 invariant 하고 그것보다 좋은 대안이 없는 걸 어쩌겠는가?(비교: 암페어 법칙에 대한 맥스웰의 첨가)
3. 1905년, 직관적 통찰력이 뛰어난 Poincaré가 '자연이 보여주는 자체를 받아들이자'며(A complete conspiracy is itself a law of nature) 모든 물리 수식은 Lorentz transformation invariant해야 한다는 제안을 하였고,

4. 그를 받은 Einstein은 F = (dm(d(x, y, z))/(dt))/(dt) 이 Lorentz transformation invariant하도록
m = (m0)/((γ)) 로 수정, 여기서 γ = 1 − (v2)/(c2), v2 = ((dx)/(dt))2 + ((dy)/(dt))2 + ((dz)/(dt))2, m0 정지 질량


* 아래 계산은 invariant 이해를 돕기 위하여, 입자가 x 축 상에서만 움직이는 간단한 경우, 즉 γ = 1 − ( ((dx)/(dt))2 )/(c2)

F = dmdx)/(dt)/(dt, m=  m0)/(1 − dx)/(dt 2)/(c2 의 Lorentz invariant 증명(비교: 일반적인 경우의 증명)

(1)dx)/(dt =  dx)/(dt)/(dt)/(dt =  x)/(t dt)/(dt + x)/(xdx)/(dt)/(t)/(t dt)/(dt + t)/(xdx)/(dt =   − u)/(α + 1)/( α dx)/(dt)/( 1)/(α − u)/(c2αdx)/(dt =   − u + dx)/(dt)/(1 −  u)/( c2dx)/(dt =   − u + dx)/(dt)/(β

(2) d2x)/(dt’2 =  ddx)/(dt)/(dt =  d( − u + dx)/(dt)/(1 − u)/(c2dx)/(dt))/(dt)/(dt)/(dt  =  d2x)/(dt2β +  u)/(c2d2x)/(dt2( − u + dx)/(dt))/( β2)/(1)/(α − u)/(c2 αdx)/(dt =  d2x)/(dt2 − u2)/(c2d2x)/(dt2)/(β2(1)/( α − u)/(c2 αdx)/(dt) =  α3)/(2 d2x)/(dt2)/(β3
where β =  1 − u)/(c2dx)/(dt.

A =  1 − dx)/(dt2)/(c2 라 놓고 (1)과 (2)를 대입하면,

dA − 1)/(2)/(dt =   − 1)/(2A − 3)/(2dA)/(dt =   − 1)/(2A − 3)/(2( − 2)/(c2dx )/(dtd2x)/(dt2) =  1)/(c2A3)/(2dx)/(dtd2x)/(dt2
F =  dmdx)/(dt)/(dt =  m0d)/(dt(A − 1)/(2dx)/(dt) =  m0d)/(dtA − 1)/(2dx)/(dt + m0A − 1)/(2d2x)/(dt2
 = m01)/(c2A3)/(2d2x)/(dt2dx)/(dt2 + m0A − 1)/(2d2x)/(dt2  = m01)/(c2A3)/(2d2x)/(dt2(dx)/(dt2 + c2A)  = m0)/(A3)/(2d2x)/(dt2
(3)  ⇒ F =  m0)/(A3)/(2d2x)/(dt2

그리고

A =  1 − dx)/(dt2)/(c2  = 1 −  − u + dx)/(dt2)/(β2c2  = c21 − u)/(c2dx)/(dt2 −  − u + dx)/(dt2)/(β2c2
 = αc2 − dx)/(dt2)/(β2c2  = αA)/(β2
(4)  ⇒ A3)/(2 =  α3)/(2A3)/(2)/(β3

(2), (3) (4)를 대입하여

F  = dmdx)/(dt)/(dt  = m0)/(A 3)/(2  d2x)/(dt’2  = m0)/(A 3)/(2 α 3)/(2  d2x)/(dt2)/(β3  = m0)/(A3)/(2  d2x)/(dt2 =  F, 증명 끝.

5. 아인슈타인의 직관

수정된 질량 \begin{equation} m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{equation} 을 다항식으로 전개하면(power series)
m0(1 + (1)/(2) (v2)/(c2) + (3)/(8) (v2)/(c2) + ⋯) 이고, 빛의 속도에 비하여 속도 v가 작을 경우,

mm0 + ( 1)/(2) m0v2((1)/(c2))
m − m0  = △m(1)/(2)m0v2((1)/(c2)) = (kineticenergy)/(c2)
KineticEnergy = △mc2

바로 이 마지막 등식이 아인슈타인으로 하여금 E = m0c2이라는 직관적 결론으로 이끌었다는 것.


* Principle of relativity(상대성 원리, relativity axiom)

힘이 가해지지 않는 좌표계에서의(inertial frame) 물리실험 결과는 항상 같아야 한다.
외우기 쉽게 문장은 하나지만, 응용할 정도로 이해하는 것은 쉽지 않다. inertial frame 관성구조 즉 정지하거나 등속으로 움직이는 구조라는 것. 정지하거나 등속운동의 구조내에서는 모든 물리실험 결과가 같아야 한다, 즉 모든 현상이 변함이 없어야 한다는 거다. 정지한 세계의 모든 것을 등속으로 움직이는 세계에 옮겨 놓았을 때(* 전환 즉 transform), 물리법칙의 형태는 같아야 하고 그 안에 존재하는 사람에게는 자신의 세계가 정지해 있는지 등속운동하는 지 알 수 없다는 것.
예를 들면, 시속 10km로 달리는 자동차에서 운전수가 시속 20km의 총을 쏘면, 땅에 서 있는 사람에게는 총알이 시간당 30km로(= 자동차 속도 10+ 총알 속도 20) 날아가는 것으로 측정된다는 것. 이해가 안 되면, 상대성 원리에 의해 달리고 있는 운전수에게 총알은 20km로 나아가야 한다는 걸 생각해라. 더 쉬운 예는 달리는 차안에서 공을 위로 던지면 곧장 아래로 떨어지는 것을 생각해보라.

Michelson - Morley의 실험 이후, 상대성 원리의 확장: 에터르에 대한 지구의 속도 계산하기 위한 Michelson - Morley의 실험이 실패로 결론나자, Michelson - Morley가 관측자라는 사실을 인식하고 관측자는 자신이 움직이는 속도를 계산할 수 없다는 공리를 세웠다. 이 공리로부터 관측자는 주변의 일어나는 모든 현상, 심장 박동, 식물 성장 등 움직임의 이상 변화를 느낄 수 없어야 한다고 일반화하였다, 그렇지 않으면, 그 다른 것이 관측자 자신이 등속운동한다는 것을 입증할 근거가 될 가능성이 있다는 이유로.

* Transform(전환식; 표현들, 즉 representations 사이의 관계식)에 대하여

같은 실험을 다른 장소에 있는 사람들이 실행한다고 할 때, 그들이 사용하는 좌표계는 다를 수 밖에 없지만 결과는 같아야 한다. 따라서, 두 좌표계 사이의 관련식 즉 변/전환식에 의한 불변성은(invariant) 중요하다.
실생활의 예를 들면, 파운드를(lb) 사용하는 미국과 킬로를(kg) 사용하는 한국이 무역할 경우, 같은 무게임을 확인(invariant)할 수 있는 파운드를 킬로로 전환하는 식이 중요할 수 밖에 없듯이. 또 다른 예는 같은 온도를 표현하기 위한, 화씨를 섭씨로 전환하는 C = (F − 32 )/(1.8), C 섭씨 온도, F 화씨온도


물리량표현1표현2표현2을 표현1로 전환
무게킬로파운드킬로=0.453x파운드
온도섭씨화씨C = (F − 32 )/(1.8)
물리법칙(x′, y′, z′) 좌표계(x, y, z) 좌표계 Lorentz transformation

linear algebra(선형대수학)에서 계산할 목적으로 같은 함수(map)를 기저(base)를 선택하여 행렬식(matrix)으로 표현할(represent) 때도, 표현된 matrix사이에 변환식이 있다. 이 경우, base가 위 좌표계에 해당.

representation(표현)에게는 어떤 기준 설정이 필수, 선형대수의 함수를 표현할 때 base가 필요하고 일상생활에서 언급하는 키, 몸무게, 혈압 등도 숫자로의 표현함에 있어 길이, 무게, 압력의 단위가 필수적이듯이. 함수 공간에 정의된 linear functional의 경우, x위치에 1이라는 벡터들이 기저로서 그 linear functionl의 표현은 함수로 표현할 수 있다는 것이 Riesz representation 정리. discrete linear functional의 representationd이 벡터인 반면, continuous linear functional의 경우, 표현이 함수로 나타난나는 것.
한글구문분석프로그램도 '구조단어'라는 representation과 그 표현 사이의 관계설정(relation, 사전)을 토대로 만들어진 프로그램.


* Fourier transform

F(f)(s) =  − ∞e − 2πistf(t)dt는 연속연립식(continuous linear combination), 적분은 덧셈이니.

공학, 응용수학 등에서 함수, f 의 프리에 전환(Fourier transform), F(f )이 쓸모있는 이유

1. fF(f) 은 선형이고(linear), 적절한 함수들 집합에서(L2, Schwartz space 등) 일대일 대응한다(one to one, onto).

2. 분석해야 할 것은 실험 자료(data)들이고 도구는 인류 최고의 발명 미적분. 문제는 그 자료들이 연속이 아닌 제각각 떨어져 있고(discrete) 그러한 자료에 미분을 적용할 경우 그 오차를 감당할 수 없다는 것. 헌데 다행스럽게도
프리에 전환하게되면 얘기가 달라진다. 부분 적분(integration by parts)에 의해 도함수의 프리에 전환은 프리에전환 함수와 다항식의 곱으로 나타난다는 것, 아래 *. \begin{equation} F(\frac{df}{dt})(\xi)=\int_{\infty}^{-\infty}e^{-2\pi{i}{\xi}t}\frac{df}{dt}dt= e^{-2\pi{i}{\xi}t}f(t)\Biggr|_{t=-\infty}^{\infty}-\int_{\infty}^{-\infty}-2{\pi}{i}{\xi}e^{-2\pi{i}\xi{t}}f(t)dt=-2\pi{i}{\xi}F(f)(\xi)\cdot\cdot\cdot* \\f는\, 양쪽\, 무한대에서\, 0인\, 함수 \end{equation}

프리에 전환 것들로 미적분하며 가지고 놀고난 후, 역프리에 전환(inverse Fourier transform)한다는 거다.

3. 그리고 연구에 자주 등장하는 입자들은(x-ray 등) 파동이고 그 것들은 Fourier series로 표현 가능

4. Fourier series와 Fourier transform(출처:위키백과)

북반구 해가 동쪽에서 서쪽으로 기울고 일상 대부분이 반복적 일과들 모임이듯이, 대부분의 함수들은 주기적인 함수들의 급수로 표시된다. 하여 T > 0에 대하여, x ∈  [-T/2, T/2] => f(x) = Σn=−∞cne2πi((n )/(

T
)
)x
그 밖의 x 에 대하여는 f =0이라고 하면,
=> (T)/(2)(-T)/(2) f(x)e−2πi((n
)/(
T
)
)x
dx = (T)/(2)(-T)/(2)n=−∞cne2πi((n
)/(
T
)
)x
)e−2πi((n
)/(
T
)
)x
dx
=(T)/(2)(-T)/(2) cndx=cnT
=> cn=(1)/(T) (T)/(2)(-T)/(2) f(x)e−2πi((n
)/(
T
)
)x
dx,
f 는 [-∞, T/2]와 [T/2, ∞]에서 0 => cn=(1)/(T) F(f)((n)/(T)) => f(x)=  Σn=−∞ (1)/(T) F(f)((n)/(T))e2πi((n )/(

T
)
)x
,

마지막 식을 들여다 보면,
F(f)(s)e2πisx 아래부분의 직사격형들(밑변 1/T, 높이 F(f)((n)/(T))e2πi((n )/(

T
)
)x
) 면적들 합, 즉 Riemann sum이라는 것!
T → ∞ => f(x)= − ∞F(f)(ξ)e2πiξxdξ

* 미적분 얘기가 나온 김에...
(1) 차이의 정도를 나타내는 표준편차(standard deviation), 최소제곱법(least square method)에서 2라는 숫자.
차이의 정도를 표시하고자 하는데, 왜 절대값을 사용하지 않는가? 그리고 2가 아닌 4나 6은 안 되는가?
그것은 2가 미분가능한 최소의 숫자이기 때문.
미적분이라는 유용한 도구를 개발한 인간은 그걸 활용할 수 있는 효율적인 방향으로 학문과 이론을 발전시켜왔다는 것.
(2) 미적분 교과서에서 회전체의 체적(volume), 표면적(surface area) 근사접근 도형이 다른 이유
체적 계산할 때는 직사각형, 표면적을 계산할 때는 사다리꼴을 근사도형으로 회전시키고 그것들 합의 극한을 체적, 표면적이라고 정의한다. 왜? 다른 도형을 사용할까?
사다리꼴 접근이 제대로된 근사 접근 방법이다. 헌데 체적 극한의 경우 사다리꼴과 직사각형 접근방법 계산에 차이가 없기 때문이다. 사다리꼴보다 직사각형이 단순하고 계산이 간단하기에 어리석은 학생들의 공포심을 덜어주기 위한 것.


* 뉴튼 방법(Newton' method) 그리고 complete, compact space

(1) 방정식, 특히 아주 중요한 편미분방정식(Laplace, wave, heat equation 등 partial differential equation) 해법 연구를 위해 발버둥 친 결과, 원시적인듯 보이지만 직관적이고 가장 효과적인 것은 뉴튼 방법과(아래 그림) 같이 접근하는 수열을 만드는 것.

수식으로 표현할 수 없는 f(x)=0의 해에 접근하는 수열 xn+1=xn(f(xn))/(f(xn)) 만드는 방법과 그 수열 극한 limn→ ∞xn 이 해라는 것을 보여주는 뉴튼 방법.


(2) 우리 인간이 생각해낸 함수는 다항식(polynomial), 사인(sine), 코사인(cosine), 로그(log), 그리고 스텝 함수(step function) 등 20개도 채 되지 않는데, 다루어야 할 함수는 무수히 많다. 하여 생각한 방법이 다항식이나(Taylor series) 사인, 코사인 함수의 급수로(Fourier series) 표현되는가에 대한 연구로 방향을 잡으니 나오는 것들이 함수 수열들....

그러다가 떠오른 문제: 해가 될 가능성 많은 (수열의) 그 극한 함수가 작업하고 있는 자체 영역 공간에 존재하느냐는 것. 예를 들면, 기존 함수의 극한인 Dirac delta function은 기존 함수가 아닌 generalized function(또는 distribution)이라고 불리는 별종. 수학자들에게는 호재의 논문거리 연구 대상이 아닐 수 없다.
그래서 나온 개념들이 Cauchy sequence의 극한 존재하는 공간을 complete space, 수열이 있으면 항상 극한이 존재하는 compact space, sequentially compact 뭐니 유사 정의 등 정작 중요한 미분방정식 해는 구하지 못하고 빠진 샛길 연구.


* Riemannian metric(리만의 자)
흔히 사람들은 학문 발전과 현실 상황을 전혀 다른 동 떨어진 것으로 생각한다, 특히 조선인들은. 그렇지 않음이 마이켈슨-몰리 실험과 그에 따른 상대성이론 발달사에서 드러났음에도 불구하고. 가우스(K. Gauss)는 하노버 도시 측량하는 중에 유클리드 기학이 적용할 수 없음을 알게 되고 실용 기하(즉, 비유클리드 기하학) 연구를 하게 되었다.

자를 가진 사람이 적도에서 북극으로 여행한다고 하자. 지역에 따라 기온 차이가 다르니 눈으로 인식하지 못하겠지만 지니고 있는 자가 '늘어났다 줄어들었다' 할 것. 즉 지구의 각 위치에 따라 자의 길이가 변화한다. 그를 수학적으로 표현하면 위치에 따라 변하는 기준자(norm), 헌데 norm은 표준 편차, 최소제곱에의 경우와 마찬가지로 제한적이기에 내적(inner product)으로 표현한 것이 리만의 자.
무한소적으로(infinitesimally)으로 얘기하면, 각 점마다의 접평면(tangent plane)위에 정의된 내적.

출처: Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, 1854, by B. Riemann


* Maxwell's equations \begin{equation} \begin{aligned} {\nabla}{\cdot}E=\frac{\rho}{\epsilon_0} \cdot\cdot\cdot (1)\, Coulomb\, 또는\, Gauss' law\\ {\nabla}{\cdot}B=0 \cdot\cdot\cdot(2)\, Gauss' law\\ {\nabla}{\times}E=-\frac{\partial B}{\partial t} \cdot\cdot\cdot (3)\, 패러디\, 법칙(Faraday'\, law)\\ c^2{\nabla}{\times}B=\frac{j}{\epsilon_0}+\frac{\partial E}{\partial t} \cdot\cdot\cdot (4)\, Ampere's \,law \end{aligned} \end{equation}

위 4개 방정식을 맥스웰 방정식이라고 하는데, 각각 별도의 기여자 이름이 붙어있다. 그렇다면 도대체 맥스웰이(패러디의 제자) 한 게 뭔가라는 의문이 들지 않을 수 없는데, 그에 대한 해답은 온전히 암페어(Ampere) 법칙이라고 부를 수 없는 4번째 방정식에서 찾을 수 있다.
암페어가 처음 발견했다는 식은 \begin{equation} \nabla \times B=\mu_0 j\cdot\cdot\cdot (5) \end{equation}

맥스웰은

(1) 패러디 발견을 (3)과 같은 수학적 표현으로 정리하고 암페어 법칙도 On Physical Lines of Force에서(1861년) 도출해내고(출처: 암페어 법칙과 맥스웰)
간단한 (1), (2)와 달리, 복잡한 (3)과 (4)를 간결하게 수학적으로 도출/표현해 냈다는 자체가 대단한 업적.
그로부터 수학적으로

(2) 기존의 암페어 법칙(5) 양변에 divergence, ∇·를 가하면 생기는 0 = μ0∇·j ≠ 0 이라는 모순을 해결하기 위하여, ·j = - (ρ)/(t) 를 주목하고 등식이 성립하도록 (E)/(t) 을 첨가하여 모순을 제거하였다는 것. 즉 전기, 자기의 연결고리를(missing link) 발견한 것(비교: 마이켈슨-몰리 실험결과를 설명하기 위하여, 로렌쯔 전환이 고안된 것 그리고 Galois가 5차 이상 방정식의 radical solution 관련 field를 sovable group에 대응시킨 것 등)

(3) 그리고 그 결과로 전자기 포텐셜이 파동방정식을(wave equation) 만족하며 빛의 속도라는 것을 입증

위 4개 방정식으로 맥스웰이 정리하기까지 가우스, 리만, 포아송(Poisson), 그린(G. Green) 등 많은 사람들이 연구하였다. 그 중에서 포아송 연구를 더 발전시킨 그린이 1828년 'An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism'에 발표한 수학적 결과가 그린 정리(Green' theorem)
맥스웰이 'A treatise on electricity & magnetism' Vol 1(페이지 126)에서 정리 증명(Green function과 함께)을 다루었지만, 역시나 쉽고 직관적인 증명은 파인만의 'The Feynman Lectures on Physics', Vol II, 3-9에 있다, 그린 정리의 일반화/확장인 스토크 정리(Stoke's theorem)까지 덤으로.



파인만은 뉴튼의 접근방법에 따라 미세하게 잘게 쪼개고 그들 합의 극한을 취하는 적분의 기본 정의, 즉 Riemann sum을 활용했다(위 그림, 참조: 파인만은 path integral 연구에도 Riemann sum을 적절하게 적용)
그림 3-10의 사각형 선을 따라 line integral을 하면

cx(x, y)△x+cy(x+△x, y)△y-cx(x+△x, y+△y)△x-cy(x, y + △y)△y
= −{cx(x+△x, y+ △y)-cx(x, y)}△x+ {cy(x+△x, y)−cy(x, y + △y)}△y
=−{cx(x+ △x, y + △y)-cx(x + △x, y)+cx(x+△x, y)-cx(x, y)}△x+ {cy(x + △x, y)−cy(x, y)+cy(x, y)−cy(x, y + △y)}△y
≅ -(cx)/(y)(x + △x, y)△yx - (cx)/(x)(x, y)(△x)2+(cy)/(x)(x, y)△xy - (cy)/(y)(x, y)(△y)2
=>m=Mm = 0n=Nn = 0 - (cx)/(y)(xm + 1, yn)△yx - (cx)/(x)(xm, yn)(△x)2+(cy)/(x)(xm, yn)△xy - (cy)/(y)(xm, yn)(△y)2
M-> ∞, N-> ∞을 취하면,
(△x)2, (△y)2이 들어있는 항은 0이 되고 첫번째와 세번째 Riemann sum은 (cx)/(y) + (cy)/(x)dxdy.
(cx)/(y) + (cy)/ (x) 는 ∇×C 의 z축 방향, 즉 (∇×C)⋅n, 따라서

ΓCds = S(∇ × C)nda

* 드브로이 물질파(De Broglie matter wave) 발견과 특수한 경우의 일반화

빛 입자(photon)의 파장(wavelength), 진동수(frequency)를 λ, ν, 모멘텀(momentum), 프랑크 상수(Plank constant)을 p, h 라고 하면, 그 에너지 E, 빛의 속도 cE=pc, E=hν, c=λν 라고 나타낼 수 있고, pλ 의 관계식 \begin{equation} p=\frac{h}{λ} \end{equation}

을 얻는다. 드브로이가 한 것은 모멘텀 p 대신에 '모멘텀 정의' 즉, mv 를 대입한 것. 즉 빛 입자의 특수한 관계식을 일반 입자에까지 확장 적용하며 물질파라는 개념을 제시한 것. 특별한 경우를 연구, 발견된 성질이나 관계식을 일반적으로 확장적용한 성공적인 경우가 드브로이의 발견.
이런 과감한 드브로이 발상은 수학에서는 흔히 볼 수 있다. 널리 응용되는 예중 하나가 벡터 공간(vector space).
크기와 방향을 갖는 벡터는 화살표로 표시되고 내적(inner product)을 갖추고 몇가지 특질들을 가지고 있다. 여기에서 크기와 방향의 구체적 화살과 같은 구체적 그림을 그릴 수 없더라도 내적과 본질적인 몇가지 성질들...그것들만 가진 모든 추상적(abstract) 공간을 베터공간이라고 정의(예: 함수들 집합).
그 밖에
(1) 유클리드 공간(Euclidean space)의 벡터를 스테이트 벡터(state vector)로
(2) 에테르에 대한 지구 속도 측정 불가능을 모든 현상에로의 일반화한 상대성 원리.
(3) double-slit experiment, Schrödinger equation, Dirac equation 등 주로 전자들만의 연구로 양자역학을 일반화시킨 것.


* 양자학적 의사결정 모델(quantum mechanical model on decision making)을 위하여- 2019.9.12
'The trouble with quantum mechanics is not only in solving the equations but in understanding what the solutions mean!'라고 파인만이 했듯이, '꿈보다 해몽'

1. 원자는 진동체(oscillator)이므로 모든 물질은 진동체들의 집합체. 인간의 섬세한 각각의 '일시적' 감정을(emotion) 표현하는 각 단위를(또는 같은 '감정 표현단위'들의 뭉침) 하나의 진동체라고 가정하면,

(1) 각 oscillator는 고유의 '공명 진동수(주파수)'(resonance frequency)를 갖는다. 수식으로 설명하면, 아래 진동식에서(forced oscillator, 즉 외부의 영향이 있는 경우)

m(d2x)/(dt2) + c(dx)/(dt) + kx = F0cos(ωt) , 외부에서 작용하는 힘 또는 영향력

x의 진폭은 ωω0(= ((k)/(m) 의 제곱근, 공명 진동수) 에 아주 가까울 경우에만 두드러지게 커진다는 얘기다(참조 [1]). 따라서, 인간의 특정한 감정을 일으키려면 공명 진동수와 아주 근접한 자극을 주어야 한다, 비유하자면, 특정 주파수에 고정된 라디오는 특정 주파수의 방송국만 청취할 수 있다는 것.

(2) 어떤 사건에 대하여 인간이 느끼는 감정은, 대부분의 경우, 단순치 않은 여러 감정이 얽혀 복잡하다. 그 것은 다음과 같이 설명할 수 있다.
어떤 사건은 외부의 영향/힘이 일반적인 함수 F 인 경우고...
(가) 위 1의 미분방정식은 선형(linear)이고,
(나) F 는 cosine, sine 함수들로 분해될 수 있다는 것
(다) 그리고 위 1에서의 '공명 진동수 근처에서만 영향이 크다'는 것으로 부터
(라) 근사해(approximate solution)는 cosine 함수가 외부의 영향/힘인 위 1과 같은 방정식의 해들의 합이니(superposition)...
여러 진동체들의 공명의 합이 바로 복잡한 감정으로 나타나는 것으로 채널을 고정한 라디어 여러대를 동시에 듣는 것과 같다.

2. 전자기장내 암모니아 분자 에너지 변화(energy transition of an ammonia molecule through an electric field)와 인간의 생각 전환

(1) 암모니아 분자 상태는 오로지 'I, II ' 2개 상태의 선형조합(linear combination) 경우 밖에 없다고 가정하고(이를 two-state system이라 한다).
(2) 분자가 상태 I, II 로 전환할 확률을 각각 CI , CII 라 하고,
(3) 전기장(electrice field) ε을 가하면,
해밀토니안 방정식(Hamiltonian equation)이라 불리는 CI , CII의 관계식은 다음과 같이 주어진다. \begin{equation} i\hbar\,\frac{d{{C_{I}}}}{dt}= (E_0+A)C_I+\mu\epsilon C_{II} \\ i\hbar\,\frac{d{C_{II}}}{dt}= (E_0-A)C_{II}+\mu\epsilon C_{I}.\\ where \,E_I=E_0+\sqrt{A^2+\mu^2\epsilon^2},\, E_{II}=E_0-\sqrt{A^2+\mu^2\epsilon^2} \,\,stationary\, states\, I, \,II에서의\, definite\, energy;\, \\ \epsilon=2\epsilon_0cos(wt),\, 2A=E_I-E_{II}=hw_0; \,\mu=분자의\, dipole moment \end{equation}

일정기간(T) 사이에 상태 I 에서 II 로 바뀌는 '대충' 확률은 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 형태인 \begin{equation} \biggl[\frac{\mu\epsilon_0T}{\hbar}\biggr]^2 \,\frac{\sin^2[(\omega-\omega_0)T/2]} {[(\omega-\omega_0)T/2]^2}. \end{equation}

또 다시 눈여겨볼 것은 전자장의 진동수 ωω0(resonance frequency)에 아주 근접해야만 상태 전환 가능성이 커진다는 것(자세한 것은 참조 [2]).

(4) 생각의 구체화
(3)의 결과와 '감정을 진동체의 폭주'로 간주한 위 1 가설과 일관성 있게 하기 위하여,
생각을 '연결된 2개의 진동체의 안정된 운동'(coupled stationary movement/motion)으로 보는 것. 상태 I, II 를 안정된 운동과 뚜렷 에너지를 갖는 평형상태를 유지하고 있는 인간의 생각 상태로 보자는 거다.
그러면 결과(4)는 그 평형상태는 쉽게 다른 평형상태로 바뀌지 않는다는 것, 선입견(prejudice), 즉 일단 주입된 생각은(I 또는 II) 좀처럼 바뀌지 않는다는 인간 상식을 보여준 것이다.
더 나아가, 연결된 n개 진동체들의 안정된 운동이(습관성 움직임) 생각. coupled stationary motion 내지 inertialized motion 예: coupled pendulum

(5) 양자 컴퓨터 비트(quantum computer bit)에 대하여 언뜻 든 생각(2019.10.14)
일정 에너지를 갖는 안정된 운동 상태들(state of stationary motions with a definite energy E)을 양자비트로 사용하자는 것.
예를 들어, 어떤 분자의 일정 에너지를 갖는 안정 운동상태가 10개라(E1, E2,....E10) 하면
right frequency의 전자기장을 걸던 wave를 쏘든 간에
에너지 상태를 마음대로 전환(definite energy state transition, En <=>Em)할 수 있는 기술이 개발가능 내지 이미 되어 있다면,
E1 ..... E10으로 십진법의(decimal system) 양자컴퓨터가 실현될 거라는 얘기.

3. Topological view of a molecule에 덧붙여.
1. 항상 떨고 있는 분자들인 수많은 효소들이 아주 정확하게 '붙었다, 떨어졌다'를 반복하며 생명체내의 신호 전달하는 사실에 위 가설을 적용하면, 각 효소에게는 특정한 진동수에만 반응하는 진동체 역할하는 부분이 존재할 수 밖에 없다는 것과 그 반응 가능 진동수 범위가 극히 좁기에 효소의 정확성이 높다는 것은 자연스럽게 나오는 결론.
2. 공명(resonance) 아이디어는 특정한 세포에만 도달하는 약 개발에 응용 가능하다. 예를 들어, 암세포와 정상세포가 다르니 방출하는 전자파도 다를 수 밖에 없다(참조: [3]). 암세포의 전자파에만 활성화하는 화학 물질을 약에 붙인다는 것.

참고 문헌
[1] Feynman Lectures on Physics, Vol I chapter 23-25
[2] Feynman Lectures on Physics, Vol III 9-13
[3] Feynman Lectures on Physics, Vol I 28-4


* 인간들 의견 차이는 도플러 효과(Doppler effect) - 2019.11.23

도플러 효과는 광/음원의 빛 또는 소리를 감지하는 관측자의 움직임에 따라 달라지는 현상을 말한다.
'특수한 경우를 일반화하는 자연과학 방법론'에 따라, 도플러 효과를 시/청각을 넘어 인간의 다른 감각 인지 기관들에게까지 일반화 시켜보자. 예를 들어,

특수한 경우(기존의 도플러 효과)

일반화

광/음원

사건 또는 현상 등

단순 움직임의 '시/청각 및 인지 기관'

stationary motion의 모든 감각 및 인지 기관들의 집합체

로 일반화한다면, 같은 사건, 현상 등이 도플러 효과에 의해 관측자 인식이 달라지고(* 진동수가 다른 빛, 소리를 접하듯, 엄밀하게 말하면 다른 정보를 받는다) 그에 따라 관측자의 의견이 제각각 다를 수 있다는 얘기다.

* 도플러 효과 일반화에서 도출되는 결과들:
1. 모두의 의견이 똑같은 값어치를 갖는 건 아니다. 도플러 효과로 자신이 듣는 소리와 다른 사람에게 들리는 소리가 다를 수 있다는 것을 인정하는 사람의 의견이 자신귀에 들리는 소리만 인식하는 인간보다 탁월할 수 밖에 없지 않겠는가?
2. 인간은 이성적인 동물이 아니다.
3. 논리라는 stationary motion(습관성 움직임)은 인간에게 애초에는 없다. 스스로 깨우쳐 습득하거나 교육 받아서 생기는 것.
4. 인지 감각기관의 stationary motion(습관성 움직임)을 바꾸면 인간은 변한다, 즉 인지 및 반응 태도가, 지속적인 교육 또는 충격으로(George Orwell의 '1984'에서처럼 공명에 의한 전기충격 등으로)... 인지 감각 기관이 망가져 비정상적이 되거나 죽을 수도 있지만서도.

* 특수한 경우 일반화의 자연과학철학 방법예 - 포앙카레와 파인만의 통찰(The Feynman Lectures on Physics, Vol I, 15-5,6)
'The Michelson-Morley experiment was performed with an apparatus like that shown schematically in Fig. 15–2.... there should be a difference in the times.... but ① no time difference was found—the velocity of the earth through the ether could not be detected. The result of the experiment was null.
.....
It was ultimately recognized, as Poincaré pointed out, that a complete conspiracy is itself a law of nature! Poincaré then proposed that there is such a law of nature, that it is not possible to discover an ether wind by any experiment; that is, ② there is no way to determine an absolute velocity.
....
Now if all moving clocks run slower, if no way of measuring time gives anything but a slower rate, we shall just have to say, in a certain sense, that time itself appears to be slower in a space ship. All the phenomena there—the man’s pulse rate, his thought processes, the time he takes to light a cigar, how long it takes to grow up and get old — all these things must be slowed down in the same proportion, because he cannot tell he is moving. The biologists and medical men sometimes say it is not quite certain that the time it takes for a cancer to develop will be longer in a space ship, but from the viewpoint of a modern physicist it is nearly certain; otherwise ③ one could use the rate of cancer development to determine the speed of the ship!'

① 마이켈슨 몰리의 실험: 가상의 에테르에 대한 지구의 속도 측정 실패
② 포앙카레의 철학적 일반화: 마이켈슨 몰리 실험 결과를 받아들여 '등속도로 움직이는 사람이 자신의 속도 측정할 수 있는 실험이나 방법은 없다'는 대담한 가설 제안
③ 파인만의 도출 : 포앙카레의 가설 적용하여 인간의 맥박 등 생태학적 과정도 기계적인 시계와 같은 비율로 진행한다는 결론에 도달(* 그렇지 않으면, 그 비율차로부터 속도 계산이 가능하기에)


* 꿈(dream), 의식(conscience)에 대하여(2019.12.25)


Feynman Lecture Notes Vol III, Fig. 17-5(b)
'Now suppose that such light shines on a wall which is going to absorb it—or at least some of it—and consider an atom in the wall according to the classical physics. We have often described the motion of the electron in the atom as a harmonic oscillator which can be driven into oscillation by an external electric field. We’ll suppose that the atom is isotropic, so that it can oscillate equally well in the x- or y-directions. Then in the circularly polarized light, the x-displacement and the y-displacement are the same, but one is 90 behind the other. The net result is that the electron moves in a circle, as right Fig. The electron is displaced at some displacement r from its equilibrium position at the origin and goes around with some phase lag with respect to the vector ɛ. The relation between ɛ and r might be as right Fig.
As time goes on, the electric field rotates and the displacement rotates with the same frequency, so their relative orientation stays the same.'(Feynman Vol III 17-10)

Feynman Lecture Notes Vol II, Fig. 5–12.

이걸 읽고 언뜻 든 생각, 이 우주에는 그야말로 수많은 전자기장이 떠다닌다. 그 전자기장이 인간뇌를 자극한 것이 꿈, 인간뇌는 진동체들의 모임이니.

<의식>: 뇌 전체 내지 일부를 둘러싼 전도체가 형성됨으로써 떠돌이 전자기장들은 차단되어 눈, 코 등의 감각기관을 통한 자극만이 뇌에 전달되는 상태
<꿈>: 그 전도체 장벽이 사라짐으로써 전자기장이 뇌를 자극한 결과. 비슷한 논리로 무당의 접신은 전도체 장벽이 제거하고 특별한 공명의 파만 허용하는 것으로 볼 수 있음.

이 가설은 electrostatic의 경우, 속이 빈 전도체내에는 전자기장이 형성될 수 없다는 사실에(참조: 오른쪽 그림) 근거한다. 실제 환경이 엄밀한 eletrostaic은 아니지만, '...like the principle of “shielding” electrical equipment by placing it in a metal can'(Feynman Lecture Notes Vol II, 5-9)라고 한 것을 보면 충분히 근사한 환경. (참조: It is safe to sit inside the high-voltage terminal of a million-volt Van de Graaff generator, without worrying about getting a shock— because of Gauss’ law)

<노화>: 생체에 침투•충격을 주는 수많은 미세입자(electromagnetic waves, 알파 감마 방사선, cosmic rays 등)들에 의해 생체조직 구조를 뒤틀리게 함으로써 서서히 망가지는 것(2020.3.3)
이 정의는 다음과 같은 사실들에 바탕을 둠.

(1) 총이나 차와의 충돌로 생체가 치명적 상해를 입고
(2) 알파 방사선에 의한 생체조직 파괴 그리고 X선에 의한 돌연변이, 즉 DNA 구조 변이 등
(3) 금속 등의 물질에 빛을 쪼이면 전자가 방출되는 광전효과(photoelectric effect), 즉 빛에 의하여 전자를 잃고 그 금속 구조에 결함 발생. => Topological view of a molecule에서 molecule을 전자들로 형성된 기계장치로 보는 관점과 어울린다.

외부로부터 오는 이러한 미세입자들을 막아낼 수 있다면, 노화 방지 또는 노화 속도를 줄일 수 있을 것. 무공 고수, 도인의 수명이 길고 반로환동의 얘기들은 운기행공(運氣行功)이 위에서 언급한 전도체막를 형성함으로써 전자파를 차단하는 역할의 결과일 수.

흐르는 물은 썩지 않는다.


* Basic element of the universe(2020.1.25)

물질의 기본입자 찾겠다는 인간의 염원은 1900년대 들어서 입자가속기로 소립자 쪼개는 경지에 도달했는데, 빛 입자(photon)의 정지 질량이 0이란다. 뉴트리노(neutrino)도 정지 질량이 0이라고 생각되었는데, 2015년 경 아니라는 근거가 발견되었다.
쪼개고 쪼개고 더 이상 쪼개지 못하는 물질의 끝을 보겠다는 것이 하염없이 하늘만 쳐다보는 부질없는 짓 같다. 아래로 내려다 보는 global하게 접근해보는 건... 우주을 이루는 기본입자는 정지질량 0인 입자가 존재하고 그 입자들의 모임들에(uncountable 기본입자 set) 대한 measure의 존재, 각 set에 대한 measure가 질량? ...이이, 이황, 이기이원론...
정지와 움직임. 그 차이는? 끊임없이 움직이는 빛 기준???


<가설>: 에너지는 구조에 갇혀있는 기들. 구조(structure)에 묶여있는 경우 질량에 더해지고 구조가 깨지면 에너지 발산, 즉 질량은 '기'들의 구조물 - 20203.20
근거가 되는 구조 변화(change of structure)와 에너지 추출/발산 예들,

1. 음식 섭취란 이로써 부수고 위산으로 녹이는 과정을 과정을 통해 에너지 흡수하는 것. ATP<=>ADP, 생명체는 다른 물질을 쪼개는 작업을 통해 에너지를 흡수 자신에게 저장, 구조 속에 가둬놓는 것.
2. 불꽃 피우는 것, 짧은 시간내의 연쇄적 핵분열, 마찰 등 구조를 파괴하는 과정에 의한 열 발생.
3. 회오리, 태풍도 대기 에너지를 저장하는 하나의 구조를 형성하고 그 구조가 깨지며 에너지는 흩어진다.

<생각거리들(thought for food)>
1. 위 2관련, 열역학 제2법칙(the second law of thermodynamics), 즉 방출된 열에너지가 일할 수 있는 에너지로 환원하기 위해서는 구조가 필요하다. 그 구조를 만들기 위한 과정이(extra work) 필요하다는 것, 씨가 자라 꽃을 피우고 동물이 새끼를 낳고, 인간이 기계/폭탄을 만들듯이. 파인만 강의 III 44-5에서의 heat reservoir는 heat를 저장•발산할 준비된 구조물이어야 한다는 것.
We can make a definition of temperature which is independent of any particular substance(파인만 강의 III, 44-9)
2. 대기를 빨아들여 그 에너지 ='기'를 저장하는 방법이 단전호흡이고 단전은 그 기를 저장하는 장치 내지 장소. 기와 기를 모으는 구조형성이랄까? 그 중에 하나가 연공이고 빛의 입자가 정지한다는 건 기가 어딘가의 구조물에 갇힌다는 거.
3. 바둑에서 포석, 진법(陣法) 등

'기'의 정의: 질량 0, 방향성을(direction) 갖는 파(wave)
'물질'의 정의: 기의 덩어리. => 각 물질은 measure와 속도를 갖는다
우주는 기들 그림이고 그 안의 규칙을 발견하려는 것이 인간의 과학.
가설: 이 세상은 '기'와 끊임없이 변화하는(ever-changing) 그들이 형성하는 '구조'로 이루어져 있다.(2020.3.13) 'We can, therefore, say that there is a certain function, which we call the entropy of the substance, that depends only on the condition, i.e., only on the volume and temperature'(파인만 강의 III, 44-11)


* Carnot 가설, Reversible Process => Entropy and ...(파인만 강의 III, 44-4~6, 2020.3.29-4.25)


파인만 강의 III, Fig. 44–6. The Carnot cycle.

파인만 강의 III, Fig. 44–7 Reversible engine A being driven backwards by engine B

1. 가역 증기기관이란? (위 왼쪽 그림)
① a->b: 온도 T1의 수증기가 열을 받아 온도를 유지하며 팽창 ② b->c: 열 차단, 부피가 줄어드며 온도가 T2로 떨어짐 ③ c->d: 온도 T2의 열을 방출하며 압축 ④ d->a: 열 차단, 압축, 온도 T1로 올림 => 수증기 in the inside of 증기기관 works on the outside.
이 과정을 거꾸로 할 수 있는 기관, 즉 a->d->c->b->a. 이 경우 the outside works on 수증기. inside <=> outside(뉴튼의 제3법칙)

2. 카놋 가설:
파인만은 'Heat cannot be taken in at a certain temperature and converted into work with no other change in the system or the surroundings'라고 했는데.... 그 뒤 결과들 도출 과정에 가설 적용하는 상황을 보면 이 표현이 정확하지 않다.
더 정확한 표현은,
표현이 다른 열(heat)/에너지와 일(work)은 물리적 단위(joule)는 같다. 그렇다고 하여 열/에너지가 같은 양만큼의 쓸만한(좀더 구체적으로 말하면, 구조를 갖는 물체에 의한) 일로 '고스란히 전환될 수 없다'는 것.
그리고 이 가설은 확장할 수 있는 여지가 있다.

3. 카놋 가설+ reversible 엔진들로 얻어지는 것들...

① 가역 증기기관의 일은 일정하고(W=constant) 디자인에 무관(independent of a design)
<증명>: 온도 T1의 열을 Q1만큼 받아 각각 W, W'만큼의 일을 하고, (열역학 제1법칙에 의하여) Q1- W, Q1- W'만큼의 열을 방출하는 가역 증기기관 A, B가 있다고 하고, 그 2 기관을 위 오른쪽 그림과 같이 배치한다고 하자.
그런 경우, 온도 T1의 열 저장소, A, B 에게는 아무런 변화가 없으나 온도 T2의 열 저장소는 W-W'의 열을 방출하여 B-A에 의해 그만큼의 일을 하는 것이 된다. 따라서, 카놋 가설에 배치되니, W-W'=0이라는 결론, 뿐만 아니라, 두 기관의 유일한 공통점은 reversible이므로 기관이 어떻게 만들어졌는지, 즉 기관의 재료 등과는 무관하다는 중요한 결론에 도달한다.

Relation of Q's and T's, Entropy, a universal defintion of a temperature: \begin{equation} \frac{Q_1}{T_1} = \frac{Q_2}{T_2} = Entropy, S \end{equation} <증명>: 'reversible 하기만 하면, 그 일의 양은 기관이 어떻게 만들어졌는지와는 무관하다'는 universal property(참조: 생각거리들) 덕분에, 특수하게 만들어진 기관에 대한 Q1, W, T1, T2를 계산함으로써, 모든 기관에 적용되는(universal) 결과를 얻을 수 있다. 다시 말해서, 성질이 잘 알려진 이상기체(ideal gas)의 기관에 대하여 카놋사이클 따라 계산하여 얻은 결과가 위의 관계식이란 얘기다. 그 몫을 엔트로피라 부르고 \begin{equation} => \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1} \end{equation} 왼쪽은 오른쪽과 달리 온도 측정에 흔히 이용되는 수은 등의 어떤 물질에 영향을 받지 않는다. 하여, 기준 온도를(1°) 정하기만 하면 임의의 온도에 대한 보편적 정의를 할 수 있다는 거.

③ 물질의 고유 엔트로피를 정의할 수 있다 => Entropy of a substance('기'의 밀도, 정확하게 말하자면 measure of '기')

파인만 강의 III, Fig. 44–10.
Change in entropy during a reversible transformation


Fig. 44–11.Change in entropy in a completely reversible cycle


그를 위해 먼저 증명해야 할 것은 엔트로피 변화(entropy change)는 그 과정과 무관하다(independent of paths from a state to b), 즉 각 단계에서의 열 저장소에서 열 흡수/방출하며, 단열(adiabatic), 등온(isothermal)의 압축과 팽창을 거쳐 b 상태에 이르는 과정에서의 엔트로피 변화가 같다는 것.

<증명>: a->b로 변하는 α, β, 2과정이 있다고 하고, α를 지나 -β를 거쳐 되돌아가는 과정을(위 왼쪽 그림) 생각해보자.
a->b 과정에서의 각 단계에서 내뿜는 열은 dQ 이고 가역엔진을 통해 dS = dQ/T 만큼의 엔트로피를 하나의 1° 열 저장소(a single reservoir at the unit temperature) 로 보내면 각 단계의 열 저장소는 원래 상태로 되돌아가고 그 1° 저장소에는 각 단계의 엔트로피가 쌓이게 된다(위 오른쪽 그림). 그 총합은 각각
\begin{equation} \int_{α} \frac{dQ}{T},{}{} {} \int_{β} \frac{dQ}{T} \end{equation}
* 열과 엔트로피 총합을 혼용하는 이유는 단위는 다르지만 열이 1° 저장소에 저장되기에 그 숫자가 같기 때문, i.e. S=Q/1°.

그리고 α, - β를 거치는 과정을 보면, 물질의 상태는( a -> b -> a) 물론, 각 단계의 열 저장소들은 원래 상태로 되돌아가고, 오직 1° 열 저장소만 \begin{equation} \int_{α} \frac{dQ}{T} -\int_{β} \frac{dQ}{T} \end{equation} 의 열을 방출하여 (각 단계에서의 열 저장소에서 1° 저장소로 배달하며 원 상태로 되돌린 많은 reversible 엔진들의 조합에 의하여) 그 만큼의 일한 것으로 되었으니, 카놋가설에 의하여 그 일의 양은 0일 수 밖에 없다. 즉 α, β 과정의 엔트로피 변화는 같다. 하여, 엔트로피 변화를 시작과 마지막 상태만으로 \begin{equation} \label{Eq:I:44:16} S_b - S_a = \int_a^b\frac{dQ}{T}. \end{equation} 와 같이 표현할 수 있다.

4. 해몽(2020.5.13)
자~ 드디어 카놋 가설과 그에 따른 결과들을 이해, 분석, 검토하는 지루한 시간이 지나고 부담없는 해몽시간.

① 기 measure
Nernst의 가정, '절대온도 0에서의 물질의 엔트로피는 0'('Nernst’s postulate, the entropy of any object at absolute zero is zero')을 수용하면, T=0이면 엔트로피 S=0. 이 절대온도로부터 현 상태까지 축적된 엔트로피를 적분함으로써 어떤 물질이든간에 그 물질 상태의 절대적인 엔트로피를 정의할 수 있다는 것. 다시 말해서, 각 물질의 measure of '기', for a subset A of the universe, \begin{equation} m(A)=\int_{A} S {dV} \end{equation}

② 절대온도 0°란 기 measure가 0, 즉 물질의 엔트로피가 다 빠져나가 속이 빈 structure만 앙상하게 남아있는 거. 그러니 절대온도 0°의 물질에는 전류 저항이 없다.

③ frequency changer라는 것이 있다. 이것이 reversible 하다면, \begin{equation} E_1={h} {\nu_1} => frequency changer => E_2={h} {\nu_2} \end{equation}
위 2의 ③의 논리에 의하여
\begin{equation} \frac {E_1}{ E_2} = \frac{\nu_1}{\nu_2}= \frac{T_1} {T_2} \end{equation}
열로써 온도의 정의하듯, 즉 단위 온도 즉 1°에 대한 진동수를 알면, 상대적인 진동수에 의하여 온도의 정의를 할 수 있다.

④ 음식물을 꼭꼭 씹어 먹으라고 한다, 그러면 건강에 좋다고. 씹으면 구조물을 망가뜨리는 것으로 그 안에 갇혀있던 '기'들이 방출되고 그 주위 구조물로 흡수될 거라는 것은 자연스런 추정. 그것이 동물이 먹어야 하는 이유, 즉 살아가기 위해 에너지 축적.


* A geometric model of an atom - 스핀 j and z 축 성분에 대한 해석(2020.7.14-21)

<기하학적 모델>: An atom might be viewed as an ever-changing electric vector field generated by electrons on a compact closed surface M. \begin{equation} M=\mathbb{T} \mathop{\#} \overset{g}{\dotsb} \mathop{\#} \mathbb{T},\, 또는 \, \mathbb{K} \mathop{\#} \overset{g}{\dotsb} \mathop{\#} \mathbb{K}\mathop{\#} \mathbb{P} = \mathbb{T} \mathop{\#} \overset{g}{\dotsb} \mathop{\#} \mathbb{T}\mathop{\#} \mathbb{P};\, \, \mathbb{T}, \mathbb{P}, \mathbb{K}는\, torus, \,projective \,plane, Klein\, bottle, \end{equation}

① 벡터 필드 소용돌이(vortex=field zero)의 지표(index)들의 합은 Euler characteristic of M, χ(M).
지표란 소용돌이를 중심으로 한바퀴 도는 동안 각 점에서의 vector field를 모두 원점으로 당겨왔을 때 그들의 끝이 원점을 중심으로 돈 횟수로 수학에서는 winding number라고 부른다. 다른 예: 회오리/태풍의 중심, 달이 도는 지구가 소용돌이 중심(참조: Spibak의 1-parameter group of diffeomorphisms, 예: ρ(t, x)=t3+x 는, for each t, R to R diffeomorphism)

j= |χ(M)|/2, 즉 j=|g-1| 또는 g+1/2. z component of angular momentum는 벡터필드가 z 축 중심으로 감은 횟수, 즉 winding number
③ 에너지는 j 에 비례

모델은 다음과 같은 사실들에 근거한다.
(1) Any given system—a particular atom, or a nucleus, or anything—with a given energy, has a characteristic number j, and its z-component of angular momentum can only be one of the following set of values: \begin{equation} \begin{aligned} j\hbar,\,(j-1)\hbar,(j-2)\hbar,\,...-(j-2)\hbar,\,-(j-1)\hbar,\, -j\hbar& \end{aligned} \end{equation} The j is called “the spin of the system.” (Some people call it the “total angular momentum quantum number”; but we’ll call it the “spin.”) - 파인만 강의 II, 34-7

(2) Behavior Rule of composite electrons
The electron is a Fermi particle. the rule is that composite Fermi particles, in circumstances in which the composite object can be considered as a single object, behave like Fermi particles or Bose particles, depending on whether they contain an odd number or an even number of Fermi particles.(파인만 강의 III, 4-3)

(3) Poincaré-Hopf 정리. Let M be a compact closed surface and v : M -> TM a smooth vector field with isolated zeros. The sum of the indices at the zeros equals the Euler characteristic of M.

(4) 정리. Every closed and connected surface is homeomorphic to one of the following:
(1) A sphere
(2) A connected sum of tori => Euler characteristic=2-2g, g 토러스 갯수
(3) A connected sum of projective planes

(5) 에너지가 저장되는 법, 소용돌이 - 2020.8.12
According to the classical picture, when we place a small gyroscope with a magnetic moment μ and an angular momentum J in an external magnetic field, the gyroscope will precess about an axis parallel to the magnetic field....The magnetic field produces a torque around a horizontal axis. Such a torque you would think is trying to line up the magnet with the field, but it only causes the precession.(파인만 강의 Vol III, A-17)

(6) 구를 z 축을 중심으로 회전시키는 경우, 북극 남극 제로점과 각각의 winding number가 생기듯이, 어떤 축에 대한 winding number의 2배에 해당하는 지표가 발생한다.


* 빛의 속도보다 빠른 물질이 없다?(2020.2.14)

마이켈슨 몰리 실험에 대한 파인만 설명에 의하면, 지구 절대 속도 측정을 빛으로 측정하고자 했다, 실패했지만. 그 실패에 대한 해결책으로 로렌쯔 전환이 고안되었고 그로부터 빛보다 빠른 물질이 없다는 생각이 나옴. 관련 설명들이 관측자 중심, 즉 빛으로 전달되는 정보에 의존한다는 것.
이런 것들이 빛보다 빠른 물질이 없다는 증명이 될 수 없다. 인간이 관측할 수 없는 물질이 있다면, 현재 인간이 만든 측정기로 잡아낼 수나 있을까? 인간이 만든 기기는 전기로 전달되고 그 속도는 빛의 속도 이하인데...

수정해야 한다... 빛보다 빠른 것이 존재하고 위에 언급한 우주의 기본물질, 꿈, 의식과 관련이 있을 수 밖에 없다고.

(1) group 아닌 phase velocity는 빛 속도를 넘는다는 수학적 결과
①'This phase velocity, for the case of x-rays in glass, is greater than the speed of light in vacuum (since n in 48.12 is less than 1), and that is a bit bothersome, because we do not think we can send signals faster than the speed of light!'(파인만 강의 I, 48-6)
시그날(grouping)... observable 관찰대상, generic, 인간의 감각기관/기기의 탐지한계, 페이스(phase)는 인간의 6감에(six sense) 해당되나? 뭔가 덩어리진 것들이 인지될 수 있다는 건가? 즉 물질은 덩어리 진거? 또 다른 예,
② 'In many circumstances we are not interested in the energy at any specific moment during the oscillation; for a large number of applications we merely want the average of A2, the mean of the square of A over a period of time large compared with the period of oscillation.'(파인만 강의 I, 24-1)
에너지는 질량이라고 하지만, 질량이 온전히 에너지화되는 것은 불가능하다고 본다, 쪼개지는 횟수는 countable이고 모두 빛화된다는 가정하에. E = m0c2의 유도과정을 보면 에너지 증가부분에 대한 것.- 2020.2.15

(2) 뉴튼의 운동법칙에서 아인슈타인이 수정한 것은 제2법칙의 'measurable' 질량 \begin{equation} m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{equation}

(3) 결론:
'기' measure 0 또는 a nonmeasurable set of '기'는 빛의 속도를 능가할 수 있다. - 2020.7.24


* Griffiths, Harris의 대수기하(Principles of Algebraic Geometry) 해설 내려받기 + 덤

1989년 경인가에 뭘 할까하며 해설을 붙였다, 책의 반 정도를.
많은 사람들이 공감하는 말을 누군가 했다, '수학/과학 책을 보면 켕기고 겁나는 문구가 easy to see 또는 easily verified'라고. 젠장! 나는 금방 안 보이는 데, 저자는 그렇단다. 하여 특히 그런 부분들과 애매한 부분들에 대해 증명 또는 설명을 곁들였다.

% 내려받기 => Algebraic Geometry

(끄적대다 만 것들)A few of problem solutions
=> Hungerford Algebra 문제 풀이
=> Rudin Real&Complex Analysis 문제 풀이

=> Riemann 논문의 영문 번역 작업 - 2019.11.25
% 요즘도 그런지 모르겠지만, 80년대 미국 대부분 대학에서처럼 오하이오(Ohio State University) 수학과는 박사과정에서 2개의 외국어 독해능력을 요구했다. 불어, 독어를 택했는데, 독해 능력 평가방법은 2가지, 해당 언어학과의 기초과정 과목을 3쿼터 수강하여 평점 B이상 받거나 언어담당 수학과 교수가 인정하는 교재 100페이지에서 출제하는 지문 번역 시험에 통과하는 것(* 교재는 학생이 선택할 수 있지만, 수학과 교수의 허가가 필요하다. 허가하면 교수와 상의하여 100 페이지를 정하고 교수는 그 100 페이지내에서 임의의 지문을 선택하여 언어학과로 보낸다. 그러면 시험 감독 및 채점한 언어학과에서 통과여부를 수학과에 통보).
불어는 어찌어찌 시험통과하고... 아~ 공포의 독일어! 75년도 서울대 본고사 제2외국어 독어 시험(50점 만점)에서 객관식은 문제 읽어보지도 않고 찍었다. 아마도 10점은 넘었으리라, 고3 독어 시험때 마다 그래왔는데 항상 10점 넘었으니 말이다.
그런 공포의 독일어를 다시 한번 해보자고 기초과목 신청하고 첫수업에 갔더니... 이상한 자부심 갖는 인간들이 그렇듯이*,
이 강사라는 놈이 여간 갈구는 게 아니다. 학점에 대한 출석, 숙제, 중간/학기말 시험들의 비율을 빡빡하게 정하고 이 과목은 'tough, tough...'*하다며 공포심 조장하며 수업 중 질문까지 해대지 않는가? 얼굴 마주칠까 고개 처박고 있는데도 옆에 와서 손으로 치면서... 못 살겠다....첫수업 끝나자 마자 '이 놈 밑에서 B 받으려다 그 과정 중의 스트레스로 죽을 것 같다' 판단하고 시험으로 전략 수정.
택한 교재*가 리만 논문집(Gesammelte Mathematische Werke, Wissenschaftlicher Nachlass und Nachträge - Collected Papers)이었고 열심 열심. 헌데, 하다보니 리만의 수학 접근 방법이 그동안 배워왔던 것과 아주 많이 다른 경험직관적... 은근 재미. 하여 시간 남을 때 끄적거린 거임.

'그렇듯이'에 대하여
외국인 조교(teaching assistant) 대부분이 들어야 하는 기초 영어과목의 강사 중에 한 놈이 꼭 그랬다. 미국은 물론 영어에 대한 자부심이 아주 대단. 학생이 영어에 대하여 조금이라도 흠을 얘기하면 흥분하는 인간이었다. 한번은 강의 중에 '미국이 스페인에게 쌀을 원조했다'라는 식의 예문을 썼단다. '그게 사실이냐?' 물었더니 모른댄다. '그럼 학생들이 오해하게 왜 그런 예문을 드느냐'고 따진 재밌는 선배가 있었다... 보아하니 강사가 one-eyed Jack처럼 검은 안대를 하고 다니는데, 눈은 멀쩡한 거라.. 하여 궁금함을 못 참는 선배가 '안대 왜 하고 다니냐?'고 했더니 '한눈으로 보면 일목 요연하다'라던 그런 인간.
'tough'에 대하여
한국 유학생들 중 이 단어를 입에 달고 사는 인간들이 꽤 많았다, '너희과는... 우리과는 터프해'.
과외 학생 부모가 '아~ 우리애가 머리는 좋은데 공부를 안 해요. 우리애가 창의력은 있는데 외우는 걸 잘 못해요.'를 듣는 기분. 하긴 좋아서 하는 게 아니라, 재미없는 공부를 '학위 증' 받으려고 좋지도 않은 머리 굴리려고 안간힘 쓰니 그럴 수 밖에.
'택하게 된 동기'
아인슈타인이 1905년 특수상대성 이론 발표하고 리만의 생각만이 옳았다고 했다. 그 관련 (Gauss를 흥분시킨) 리만의 기하 논문, 'Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen'이 많은 기하 논문/책에 줄기차게 인용되기에 '도대체 뭐냐?'며 궁금(* 내가 아는 한, 실제로 읽어본 인간들은 거의 없었다.) 적극적인 유태인들 후원으로 대중 스타까지 된 아인슈타인에 의해 세계적인 주목 받기 전엔 주로 이태리 수학자들만이 리만의 기하학 아이디어를 파고 들었었다.


깨알 재미(just for fun)

[2019.12.2] 'In fact, the number of “bumps” is just equal to n—or, if you prefer, the number of zero-crossings of ψn is n−1.'(Feynman Vol III 19-6)에 대한 풀이

ψn = (1)/(ρ)e(ρ) /(n) gn
gn(ρ)=nk=1akρk,  a1=1,  ak+1=(2(kn−1))/(k(k+1))ak
(d2g)/(dρ2) - (2)/(n) (dg)/(dρ)+(2)/(ρ)g=0 g′′(2)/(n )g+(2)/(ρ)g=0(sub index n 생략)

위식에서 g가 0 이외에 (n-1)개의 근을 갖는다는 것을 증명하는 것. 만만하게 보고 달려 들었는데, 1달여간을 해맸다, 함수 자체를 이리저리 분석하고 그래프도 찍어보고 등등. 그러다 아주 재미있는 증명 발견! 핵심은 g 에 대한 마지막 미분방정식에 있다.
αg(α)=0를 만족하는 해라고 하면(* k 홀수/짝수 => ak 양수/음수이므로, ρ < 0인 경우, g <0 이니, α >0일 때만 따지면 된다) ,
(1) g′′(α) − (2)/(n)g(α)+(2)/(α)g(α)=0 으로부터 α 에서의 2nd derivative 값은 g(α)와 부호가 반대라는 것. 이것을 기하학적으로 풀이하면, α 좌우로 x축을 만날 때까지 증가하거나 감소하여야 한다는 것.
왼쪽 그림과 같은 그래프는 불가능하며, 오른쪽 그림과 같이 항상 x 축을 만나야 한다는 것.

(2) 2nd derivative 값이 0이 될 수 없다. 아닌 경우, 마지막 방정식의 선형적 성질에 의하여 모든 derivative 값이 0이 되고 이는 nth derivative 값이 0이 아니라는 사실과 배치. g 그래프는 아래와 같은 형성 과정을 거칠 수 없다는 것.

=> (1), (2)로 부터 g는 0을 포함하여 n개의 근을 갖는다.

[2020.6.23] 파인만 강의 II, 34-6 중 We would like to write Eq. (34.16) a little differently. The r2 which appears is the radius from an axis through the atom parallel to B, so if B is along the z-direction, it is x2+y2. If we consider spherically symmetric atoms (or average over atoms with their natural axes in all directions) the average of x2+y2 is 2/3 of the average of the square of the true radial distance from the center point of the atom에 대한 증명

\begin{equation} x=r\sin\phi\cos\theta, y=r\sin\phi\sin\theta, z=r\cos\phi, \\ dx dy dz =r^{2}\sin\phi drd\phi d\theta \end{equation} 따라서, for each r, the total sum x2+y2 over S(r) 은 \begin{equation} \int_{S(r)} (x^{2}+y^{2}) =\int_{S(r)} (x^{2}+y^{2})r^{2}\sin\phi d\phi d\theta={r^{4}}\int_{S(r)}(\sin^{2}{\phi}) \sin\phi d\phi d\theta \\ ={r^{4}}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi(\sin^{2}{\phi}) \sin\phi d\phi d\theta={r^{4}}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi (1-\cos^{2}{\phi}) \sin\phi d\phi d\theta \\ = {r^{4}}\int_0^{2\pi} ({-cos\phi+\frac{\cos^{3}{\phi}}{3}})\Biggr|_{0}^{\pi} d\theta = \frac{8}{3}\pi{r^{4}}, \\이것을 \, S(r)의\, 넓이\, 4\pi{r^{2}}로\, 나누면\, => x^2+y^2\,의\, 평균= \frac{2}{3}{r^{2}}\\ \end{equation}

[2020.7.2] Larmor’s theorem(파인만 강의 II, 34-7) 증명 중... 회전하는 좌표계의 자기장내 전자에 미치는 힘 계산 \begin{equation} F_t=-2m\omega v_r, F_r=m\omega^2r+2m\omega v_t, F_te_t+ F_re_r=-2m\omega\times\vec{v} \,for\, small\, \omega, \end{equation} where vt is the tangential component of the velocity, measured in the rotating frame.
<증명>: (x', y')을 각 속도 ω로 (x, y) 좌표계 회전시키는 좌표계라 하면(z축 생략), \begin{equation*} \frac{d\theta}{dt}=\omega, A= \begin{pmatrix} \cos\theta& -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix},\, \vec{r'}=\begin{pmatrix} x'\\y'\end{pmatrix},\, \vec{r}=\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix},\, \vec{r'}=A\vec{r} \\=> F=mA^t\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}= m\frac{d^2 A^t\vec{r'}}{dt^2} = m\frac{d^2 A^t}{dt^2}\vec{r'}+2m\frac{dA^t}{dt}\frac{d\vec{r'}}{dt}+ mA^t \frac{d^2\vec{r'}}{dt^2} \\=-mA^t\omega^2\vec{r'}-2m\omega \begin{pmatrix}\cos(\theta+\frac{3\pi}{2})&\sin(\theta+\frac{3\pi}{2})\\ -sin(\theta+\frac{3\pi}{2})&\cos(\theta+\frac{3\pi}{2}) \end{pmatrix} \frac{d\vec{r'}}{dt}+ A^t(F(r)+q\vec{v}×B), \frac{d\vec{r'}}{dt}=v_re_r+v_te_t \,대입\\ =-mA^t\omega^2\vec{r'}-2m\omega \begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\ -sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\frac{3\pi}{2}&\sin\frac{3\pi}{2}\\ -sin\frac{3\pi}{2}&\cos\frac{3\pi}{2} \end{pmatrix} (v_re_r+v_te_t)+ A^t(F(r)+q\vec{v}×B)\\ \begin{pmatrix}\cos\frac{3\pi}{2}&\sin\frac{3\pi}{2}\\ -sin\frac{3\pi}{2}&\cos\frac{3\pi}{2} \end{pmatrix} e_r=e_t, \begin{pmatrix}\cos\frac{3\pi}{2}&\sin\frac{3\pi}{2}\\ -sin\frac{3\pi}{2}&\cos\frac{3\pi}{2} \end{pmatrix} e_t=-e_r와 \,\vec{r'}=re_r 임을 \,주목하면, \\=-mA^t\omega^2re_r-2m\omega A^t(v_re_t-v_te_r)+ A^t(F(r)+q\vec{v}×B)\\ =-A^t(m\omega^2r-2m\omega v_t)e_r-A^t2m\omega v_re_t+A^t(F(r)+q\vec{v}×B)\\ \\ \vec{\omega}\times\vec{v}=\vec{\omega}\times(v_re_r+v_te_t)=(\vec{\omega}\times e_r)v_r+(\vec{\omega}\times e_t)v_t =\omega v_re_t-\omega v_te_r(참조: \,파인만\, 강의 I,\, 20-5) => \\ for\, small\, \omega, \approx -A^t2m\omega v_re_t+A^t2m\omega v_te_r+A^t(F(r)+q\vec{v}×B)= A^t2m\vec{v}\times\vec{\omega}+A^t(F(r)+q\vec{v}×B)\\ radial\,force, F_r=m\omega^2r+2m\omega v_t에서의\,원심력(첫번째\, 항)\,부호가\, 다를 \,수\, 밖에\, 없다,\, 2nd\, derivative는 -이니까. \\ \end{equation*}