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중력 방향 바꾸기
Change of Gravity Direction

김명호(MyungHo Kim)

요약

상대방 힘을 빗겨 나가게 하거나 되돌려 타격한다는 무협소설의 태극권(太極拳), 비행접시의(UFO) 움직임이 원심력에 크게 영향을 받지 않았다는 목격담들 등, 우리가 알고 있는 물리법칙의 힘을 소멸시키거나 바꾸는 황당하게 들리는 현상들에 대한 얘기를 하고자 한다.
이 현상들이 아주 황당하지만은 않을 수 있다는 것을, 이 짤막한 논문에서, 우리에게 익숙한 세차운동을(precession) 들여다 봄으로써 풀어 보고자 한다. 구체적으로 말해서,

(1) 회전하는 팽이의 세차운동을 가능케 하는 힘과 중력의 관계에 대한 파인만(Feynman)식 분석방법과(참고문헌 [1])
(2) 갈릴레이(Galilei), 아인슈타인(Einstein)의 사고실험의 맥락으로 보면,

세차운동은 중력의 방향을 바꾼 결과로 볼 수 있고, 나아가 힘의 방향을 바꿀 수 있는 가능성을 엿볼 수 있다는 거다.


이야기를 쉽게 풀어가기 위하여 먼저 머리회전에 도움될 선배 과학자들의 사고실험의 관찰•직관에 대한 얘기부터 시작하자.

1. 사고실험들

(1) 갈릴레이의 사고실험


출처: http://blogs.bu.edu/ggarber/archive/bua-physics/galileo-aristotle-and-inertia/
갈릴레이는 오른쪽 그림들과 같은 마찰을 최소한 곳에서 공 굴리는 실험하였는데, 왼쪽 경사 높이(=h)에서 공을 자연스럽게 놓는 경우, 오른쪽 경사의 기울기에 관계없이 항상 같은 높이 h에 도달한다는 것을 관찰하였단다.
그리고는 세번째 그림과 같이 오른쪽에 경사가 없는 경우에는 도달할 높이가 없으므로 무한정 굴러갈 수 밖에 없다는 결론을 내렸다고 한다. 즉 구르기 시작한 공은, 힘을(마찰과 같은 저항) 받지 않는 한, 영원히 구른다는 관성의 법칙을 세웠고, 뒷날 뉴튼의 3가지 운동법칙 중 첫번째 공리로 받아들여졌다.

(2) 아인슈타인의 사고실험
로켓안의 사람은, 로켓 뒤에 큰 질량의 지구가 있을 때와 가속 추진하는 로켓의 차이를 구별할 수 없다는 사실로 부터(아래 그림1), 중력은 가속도의 로켓에 같은 효과를 준다는 과감한 결론을 내렸다(* 중력과 가속도 등가원리).
그리고는 가속도의 로켓 천장 구멍을 통과한 빛이 구부러질 수 밖에 없는 사실로 부터(아래 그림2), 가속도와 같은 효과를 같는 중력의 혹성 근처를 등속으로 지나는 로켓 천장 구멍을 통과하는 빛도 구부러질 수 밖에 없기에 만류인력 법칙에 의하여 '빛은 질량을 가질 수 밖에 없다'는 결론에 도달하였단다.

그림1: 로켓안이나 지구 위에 있는 로켓안의 사람이 느끼는 효과는 같다

출처: https://www.physicsoftheuniverse.com/topics_relativity_gravity.html
그림2: 로켓안으로 들어오는 빛을 보는 관측자

등속

가속

위와 같은 생각의 흐름을 지니고 회전팽이의 움직임을 보자.

2. 회전팽이의 세차운동을 가능케 하는 힘에 대하여

Feynman식 분석에 들어가기 전, 회전체 운동에 대한 기본 정의와 주목할 것들을 간단하게 정리해보면

Angular momentum, torque, 작용-반작용에 대한 '간단 정리'

3차원 좌표계에서 원점 O로부터 vector r 위치의 질량 m 입자가 v 속도로 운동하고 있는 경우(t: 시간, ⨯: cross product), 그 입자의
1. Definition: Angular momentum about O = r ⨯ mv
2. Definition: Torque about O= r ⨯ d(mv)/dt, => torque= rF, F =d(mv)/dt
3. Theorem: angular momentum 변화가 있는 곳에 반드시 토크가 존재하고, 그 역도 성립한다.
4. 작용-반작용 axiom: 원심력과 구심력의 뉴튼의 제3 운동법칙, 전자기 작용-반작용을 서술한 Maxwell's equation 등에서 마찬가지로 angular momentum 변화를 상쇄하는 쪽으로 작용한다는 법칙

그리고 아래 그림과 같이 약간 기운 회전팽이를 보자, (1) vector G: 팽이 무게중심 M에 얹히는 중력 (2) vector L: 팽이의 total angular momentum vector about O(참조: [1]), 즉 팽이의 각 점의 angular momemtum의 총합.

위 그림과 같이 회전축이 기운 경우,
(1) 팽이의 무게 중심 M에 중력 G가 얹히고 그로 인한 토크에 이어 '간단정리3'에 의하여, vector L에 순간적인 변화압력, 즉 토크가 vector d 방향으로 생기고
(2) 위 '간단정리4'에 의하여, 그 토크에 반발하는 반대방향의 토크가 발생한다.
(3) 그 반작용 토크는, '간단정리2'의 '토크= 위치벡터 ⨯ 힘' 등식에 의하여, vector -d 와 vector L에 수직인 힘이다. 그리고 그 힘에 의하여 팽이는 세차운동을 하게 된다는 것.

알기쉬운 기하학적 그림 설명은 다음과 같다.
vector d 와 vector L로 이루어진 평면에 대하여, 좌우 대칭인 팽이의 임의의 두 점 r1, r2를 고르고 원점과 그 두점을 통과하는 평면을 그리면 아래와 같다.

두 점 r1, r2 에서의 반작용 토크는 같고 방향은 평면에 수직이므로, cross product 정의에 의하여 그 토크를 발생시키는 힘은 각각 F1, F2. 여기서 주목할 사실은 F3(=-F2)는 F1과 직선 OP에 대하여 좌우 대칭이라는 것. 따라서, F1, F2를 수평과 수직 방향으로(직선 l) 분해하면, 수직 방향은 서로 상쇄되고 수평 방향만 남는다, 즉 vector (r1-r2)와 평행인 방향.

그리고 일단 세차운동을 하게 되면 vector L의 순간적 변화 방향이 바뀐다. 그리고 그 변화를 상쇄하는 힘이 발생한다, 즉 원운동의 구심력과 같이 기운 회전팽이를 세우는 힘으로.(* 위와 같은 분석으로)

3. 결론:

팽이의 각점에서의 힘은 vector d 와 vector L로 이루어진 평면에 수직이고 그 힘을 모두 더하면, 아래 그림과 같이 무게중심에서 가해지는 F 로 표현된다.

여기서 위1에서 설명한 사고 흐름을 따르면, 중력 G가 힘 F 를 제공, 즉 방향을 바꾼 힘으로 나타난 것. 다시 말해서, 바닥으로 잡아당기는 중력이 중력과 수직인 방향의 힘으로 바뀐 거라고 말할 수 있지 않느냐 말이다.

그리고 세차운동을 시작하는 순간 팽이를 z축 방향으로 미는 힘을 생성시킨다.
팽이처럼 고체는(rigid body) 아니지만, 돌개바람의(tornado) 움직임도 이러한 맥락으로 이해할 수 있다.

참고 문헌
[1] The Feynman Lectures on Physics, Vol I, 20-6


created: 2019.4.26
[email protected] Copyright© 2019 by SeokgungK press. All right reserved.


* 파인만의 업적:
• 파인만은 노벨 물리학상을 받았다.
하여 많은 사람들은 노벨상 받게 된 파인만 다이어그램(Feynman diagram)을 그의 최고 업적으로 생각한다.
• 어디선가에서 봤다.
파인만이 '나의 최고 작품은 칼텍(Caltech) 1-2학년 학부생 상대로 한 강의(The Feynman Lectures on Physics, 1962년 즈음)'라고 했단다.... 약 200명 정도가 수강신청하였고, 시간이 감에 따라 따라가지 못하는 학생들이 수강 취소하여 약 5-60명 정도만 남았음에도 강의실 사람 수가 줄지 않았다고. 알고 보니 대학원생과 교수들이 들어왔단다.
• 파인만에 동의한다.
파인만 강의는 결과들을 단순 나열한 것이 아니라 그 결과가 나오기까지의 과정을 자신이 이해한 방식으로 설명하였다. 다시 말해서, 파인만은 '과학 연구함에 있어 가장 중요한 방법론, 접근, 출발... 어떻게 시작, 생각해야 하는 가'를 얘기해 주었기 때문이다, 다른 물리학 강의에서는 들을 수 없는.


내가 이해한 학문적 연구 방법, 직관•통찰

위인전과 수업 중 들은 과학자들 얘기에 가슴이 뛰던 어린 시절, 어떻게 하면 저렇게 할 수 있을까?
입시에 쫓겨 지식을 쑤셔 넣으면서도 어떻게 저런 생각을 할 수 있을까?
초기조건이 주어진 미분방정식 해는 유일하다... 시간과 거리의 관계 등을 생각하게 되며 아이디어가 떠오르게 된 실마리 내지 과정이 있을 거라는 확신이 들었다.
60 넘어 운 좋게도, 뭣도 모르고 쑤셔 넣기만 했던 지식을 돌아볼 기회가 왔다. 단순한 결과나 설익은 전문 용어들만 줏어 섬기는 것이 아닌, 어떠한 과정으로 선배 과학자들이 그런 절묘한 결론에 도달하게 되었는가하는 직관, 통찰의 실마리에 대하여. 맨날 남이 한 연습 문제나 풀고 있을 수 있나? 크던 작던 선배들의 방법을 체득하여 자신만의 작품을 만들어 봐야 하지 않겠는가 말이다.

(1) 초기조건의 미분방정식 해는 유일: 유클리드(Euclid)의 제5공리, '한 직선 밖의 한 점을 지나면서 평행을 이루는 직선은 오직 하나이다'으로부터 '한 직선 밖의 한 점을 지나는 평행선'이 초기조건.
미분방정식은 각각의 단계(at each stage)에서 가는 방향을 정해준 식으로 특히 그 각각의 단계가 무한히 작은 단계인 것. 그 반면 마르코프 체인은(Markov chain) 그 각각의 단계가 흩어져(discrete) 있고 가능한 방향이 여러 개라는 것. 하여 무한소의 특별한 경우에, Markov chain는 미분방정식으로 나타나다.
(2) 시간과 거리의 관계: 해가 동쪽에서 떠서 서쪽으로 지는 그 기간과 그 거리, 갈릴레이의 관찰 => 피사 천장에 달린 진자가 왔다갔다하는 시간과 맥박의 일치
(3) 경제학, 정치학 등 인문 과학에서 나오는 1-2차 수식들:
관심 대상이 몇개의 변수와 관련있다는 것을 수식으로 표현하면 y=f(x1, x2....). 그리고 웬만한 함수들은 테일러 급수(Taylor series)로 표시할 수 있고 3제곱, 4제곱 이상은 계산도 복잡하고 귀찮으니 근사식 y=a0+a1x1+a2 x2 에서 출발하여 계수들 ai 조정하는 것.
(4) 생명, 소멸 관련의 e(Poisson):
방사성 붕괴에서 기인한 것으로 어떠한 물질의 양이 초기값의 절반이 되는데 걸리는 시간을(반감기) 표현하는 미분방정식

(df)/(dt) =  − (1)/(2)f

으로부터 나온다.


*E=mc2 에 대한 Feynman의 요약(The Feynman Lectures on Physics, Vol I, 15)

2019.5.21

밖을 내다보지 않는 한, 기차안에 있는 승객은 기차가 '등속으로 움직이는지 정지해 있는지(기차에 힘이 가해지지 않는 상태)' 알 수 없기에 물리학자들은 '힘이 가해지지 않는 좌표계에서의(inertial frame) 물리실험 결과는 항상 같아야 한다'는 원칙를 세웠다(principle of relativity).
실험결과를 수식으로 표현하면 (x, y, z), (x′, y′, z′) 두 좌표계가 아래와 같이 좌표 전환할 때(Galilean transformation, 킬로로 표시된 무게를 파운드로 변환하는 식 같은 것), 'invariant under Galilean transformation' 즉, 각각의 좌표계로 표현된 물리 공식이 똑 같은 형태이어야 한다는 것. 여기서 u는 좌표계가 x축 방향으로 움직이는 상대적인 속력 상수.

x′=x - ut, y′=y, z′=z, t′= t

이 현상을 갈릴레이-뉴튼의 상대성 원리라고 불러왔다. 학계에 널리 받아 들여진 이 상대성 원리는 1687년 경 발표된 뉴튼의 운동법칙과 함께 많은 물리현상 설명에 큰 무리가 없었다.
F = m(dv)/(dt)(F = (dmv)/(dt) 에서 질량 m 이 상수인 경우)이 갈릴레이 transformation invariant하다는 것을 쉽게 입증될 수 있는 반면, 1862년 경 발표된 Maxwell's equations가 invariant하지 않다는 불편한 모순을 품고 있었지만, 기계문명이 발달하여 정밀한 Michelson- Morley의 실험결과를 얻을 수 있을 때까지는...

E=mc2은 이 실험결과와 뉴튼 법칙을 아우르는 이론 개발하려는 과학자들의 통찰력의 결과로서, 일련의 사건은 다음과 같다.

1. 1887년, Michelson- Morley는
(1) 빛의 속도는 관측자의 운동 방향과 관계없이 항상 일정하다는 것과(빛의 속도를 c 라 표시)
(2) 빛의 매질 에터르(aether)내에서 지구 속도는 '0'이라는 황당한 결과를 얻었고(주목: 위 갈릴레이 전환 t′= t 에서도 명시했듯이, 당시에는 시간은 불변이라고 생각), 이 결과를 설명하려는 시도 끝에

2. 1892년, Lorentz는 운동 방향으로의 길이 축소와 시간 지연을 제안하였다. 그것이 뒷날 'Lorentz transformation'이라고 불리게 된 transformation(FitzGerald–Lorentz contraction hypothesis)

t =  (t − (ux)/(c2)/((α, x =  (x − ut)/((α,  y = y, z = z,  α = 1 − (u2)/(c2

로렌즈의 제안이 마이켈슨 실험에 꿰어 맞추기 위한 인위적 조작이라는 느낌이 켕겼지만, Maxwell's equations가 그 transformation에 대하여 invariant 하고 그것보다 좋은 대안이 없는 걸 어쩌겠는가?(비교: 암페어 법칙에 대한 맥스웰의 첨가)
3. 1905년, 직관적 통찰력이 뛰어난 Poincaré가 '자연이 보여주는 자체를 받아들이자'며(A complete conspiracy is itself a law of nature) 모든 물리 수식은 Lorentz transformation invariant해야 한다는 제안을 하였고,

4. 그를 받은 Einstein은 F = (dm(d(x, y, z))/(dt))/(dt) 이 Lorentz transformation invariant하도록
m = (m0)/((γ)) 로 수정, 여기서 γ = 1 − (v2)/(c2), v2 = ((dx)/(dt))2 + ((dy)/(dt))2 + ((dz)/(dt))2, m0 정지 질량


* 아래 계산은 invariant 이해를 돕기 위하여, 입자가 x 축 상에서만 움직이는 간단한 경우, 즉 γ = 1 − ( ((dx)/(dt))2 )/(c2)

F = dmdx)/(dt)/(dt, m=  m0)/(1 − dx)/(dt 2)/(c2 의 Lorentz invariant 증명(비교: 일반적인 경우의 증명)

(1)dx)/(dt =  dx)/(dt)/(dt)/(dt =  x)/(t dt)/(dt + x)/(xdx)/(dt)/(t)/(t dt)/(dt + t)/(xdx)/(dt =   − u)/(α + 1)/( α dx)/(dt)/( 1)/(α − u)/(c2αdx)/(dt =   − u + dx)/(dt)/(1 −  u)/( c2dx)/(dt =   − u + dx)/(dt)/(β

(2) d2x)/(dt’2 =  ddx)/(dt)/(dt =  d( − u + dx)/(dt)/(1 − u)/(c2dx)/(dt))/(dt)/(dt)/(dt  =  d2x)/(dt2β +  u)/(c2d2x)/(dt2( − u + dx)/(dt))/( β2)/(1)/(α − u)/(c2 αdx)/(dt =  d2x)/(dt2 − u2)/(c2d2x)/(dt2)/(β2(1)/( α − u)/(c2 αdx)/(dt) =  α3)/(2 d2x)/(dt2)/(β3
where β =  1 − u)/(c2dx)/(dt.

A =  1 − dx)/(dt2)/(c2 라 놓고 (1)과 (2)를 대입하면,

dA − 1)/(2)/(dt =   − 1)/(2A − 3)/(2dA)/(dt =   − 1)/(2A − 3)/(2( − 2)/(c2dx )/(dtd2x)/(dt2) =  1)/(c2A3)/(2dx)/(dtd2x)/(dt2
F =  dmdx)/(dt)/(dt =  m0d)/(dt(A − 1)/(2dx)/(dt) =  m0d)/(dtA − 1)/(2dx)/(dt + m0A − 1)/(2d2x)/(dt2
 = m01)/(c2A3)/(2d2x)/(dt2dx)/(dt2 + m0A − 1)/(2d2x)/(dt2  = m01)/(c2A3)/(2d2x)/(dt2(dx)/(dt2 + c2A)  = m0)/(A3)/(2d2x)/(dt2
(3)  ⇒ F =  m0)/(A3)/(2d2x)/(dt2

그리고

A =  1 − dx)/(dt2)/(c2  = 1 −  − u + dx)/(dt2)/(β2c2  = c21 − u)/(c2dx)/(dt2 −  − u + dx)/(dt2)/(β2c2
 = αc2 − dx)/(dt2)/(β2c2  = αA)/(β2
(4)  ⇒ A3)/(2 =  α3)/(2A3)/(2)/(β3

(2), (3) (4)를 대입하여

F  = dmdx)/(dt)/(dt  = m0)/(A 3)/(2  d2x)/(dt’2  = m0)/(A 3)/(2 α 3)/(2  d2x)/(dt2)/(β3  = m0)/(A3)/(2  d2x)/(dt2 =  F, 증명 끝.

5. 아인슈타인의 직관

수정된 질량 m  = (m0)/ ( ( 1 −  (v2)/(c2) )) 을 다항식으로 전개하면(power series)
m0(1 + (1)/(2) (v2)/(c2) + (3)/(8) (v2)/(c2) + ⋯) 이고, 빛의 속도에 비하여 속도 v가 작을 경우,

mm0 + ( 1)/(2) m0v2((1)/(c2))
m − m0  = △m(1)/(2)m0v2((1)/(c2)) = (kineticenergy)/(c2)
KineticEnergy = △mc2

바로 이 마지막 등식이 아인슈타인으로 하여금 E = m0c2이라는 직관적 결론으로 이끌었다는 것.


* Principle of relativity(상대성 원리, relativity axiom)

힘이 가해지지 않는 좌표계에서의(inertial frame) 물리실험 결과는 항상 같아야 한다.
외우기 쉽게 문장은 하나지만, 응용할 정도로 이해하는 것은 쉽지 않다. inertial frame 관성구조 즉 정지하거나 등속으로 움직이는 구조라는 것. 정지하거나 등속운동의 구조내에서는 모든 물리실험 결과가 같아야 한다, 즉 모든 현상이 변함이 없어야 한다는 거다. 정지한 세계의 모든 것을 등속으로 움직이는 세계에 옮겨 놓았을 때(* 전환 즉 transform), 물리법칙의 형태는 같아야 하고 그 안에 존재하는 사람에게는 자신의 세계가 정지해 있는지 등속운동하는 지 알 수 없다는 것.
예를 들면, 시속 10km로 달리는 자동차에서 운전수가 시속 20km의 총을 쏘면, 땅에 서 있는 사람에게는 총알이 시간당 30km로(= 자동차 속도 10+ 총알 속도 20) 날아가는 것으로 측정된다는 것. 이해가 안 되면, 상대성 원리에 의해 달리고 있는 운전수에게 총알은 20km로 나아가야 한다는 걸 생각해라. 더 쉬운 예는 달리는 차안에서 공을 위로 던지면 곧장 아래로 떨어지는 것을 생각해보라.

Michelson - Morley의 실험 이후, 상대성 원리의 확장: 에터르에 대한 지구의 속도 계산하기 위한 Michelson - Morley의 실험이 실패로 결론나자, Michelson - Morley가 관측자라는 사실을 인식하고 관측자는 자신이 움직이는 속도를 계산할 수 없다는 공리를 세웠다. 이 공리로부터 관측자는 주변의 일어나는 모든 현상, 심장 박동, 식물 성장 등 움직임의 이상 변화를 느낄 수 없어야 한다고 일반화하였다, 그렇지 않으면, 그 다른 것이 관측자 자신이 등속운동한다는 것을 입증할 근거가 될 가능성이 있다는 이유로.

* Transform(전환식; 표현들, 즉 representations 사이의 관계식)에 대하여

같은 실험을 다른 장소에 있는 사람들이 실행한다고 할 때, 그들이 사용하는 좌표계는 다를 수 밖에 없지만 결과는 같아야 한다. 따라서, 두 좌표계 사이의 관련식 즉 변/전환식에 의한 불변성은(invariant) 중요하다.
실생활의 예를 들면, 파운드를(lb) 사용하는 미국과 킬로를(kg) 사용하는 한국이 무역할 경우, 같은 무게임을 확인(invariant)할 수 있는 파운드를 킬로로 전환하는 식이 중요할 수 밖에 없듯이. 또 다른 예는 같은 온도를 표현하기 위한, 화씨를 섭씨로 전환하는 C = (F − 32 )/(1.8), C 섭씨 온도, F 화씨온도


물리량표현1표현2표현2을 표현1로 전환
무게킬로파운드킬로=0.453x파운드
온도섭씨화씨C = (F − 32 )/(1.8)
물리법칙(x′, y′, z′) 좌표계(x, y, z) 좌표계 Lorentz transformation

linear algebra(선형대수학)에서 계산할 목적으로 같은 함수(map)를 기저(base)를 선택하여 행렬식(matrix)으로 표현할(represent) 때도, 표현된 matrix사이에 변환식이 있다. 이 경우, base가 위 좌표계에 해당.

representation(표현)에게는 어떤 기준 설정이 필수, 선형대수의 함수를 표현할 때 base가 필요하고 일상생활에서 언급하는 키, 몸무게, 혈압 등도 숫자로의 표현함에 있어 길이, 무게, 압력의 단위가 필수적이듯이. 함수 공간에 정의된 linear functional의 경우, x위치에 1이라는 벡터들이 기저로서 그 linear functionl의 표현은 함수로 표현할 수 있다는 것이 Riesz representation 정리. discrete linear functional의 representationd이 벡터인 반면, continuous linear functional의 경우, 표현이 함수로 나타난나는 것.
한글구문분석프로그램도 '구조단어'라는 representation과 그 표현 사이의 관계설정(relation, 사전)을 토대로 만들어진 프로그램.


* Fourier transform

F(f)(s) =  − ∞e − 2πistf(t)dt는 연속연립식(continuous linear combination), 적분은 덧셈이니.

공학, 응용수학 등에서 함수, f 의 프리에 전환(Fourier transform), F(f )이 쓸모있는 이유

1. fF(f) 은 선형이고(linear), 적절한 함수들 집합에서(L2, Schwartz space 등) 일대일 대응한다(one to one, onto).

2. 분석해야 할 것은 실험 자료(data)들이고 도구는 인류 최고의 발명 미적분. 문제는 그 자료들이 연속이 아닌 제각각 떨어져 있고(discrete) 그러한 자료에 미분을 적용할 경우 그 오차를 감당할 수 없다는 것. 헌데 다행스럽게도
프리에 전환하게되면 얘기가 달라진다. 부분 적분(integration by parts)에 의해 도함수의 프리에 전환은 프리에전환 함수와 다항식의 곱으로 나타난다는 것, 아래 *.

F((df)/(dt))(ξ) =  − ∞e−2πiξt(df)/(dt)dt = e−2πiξtf(t)|t =  − ∞ −  − ∞ − 2πiξe − 2πiξtf(t)dt
 = 2πiξF(f)(ξ)⋯*
물론 여기 f 는 양쪽 무한대에서 0인 함수

프리에 전환 것들로 미적분하며 가지고 놀고난 후, 역프리에 전환(inverse Fourier transform)한다는 거다.

3. 그리고 연구에 자주 등장하는 입자들은(x-ray 등) 파동이고 그 것들은 Fourier series로 표현 가능

4. Fourier series와 Fourier transform(출처:위키백과)

북반구 해가 동쪽에서 서쪽으로 기울고 일상 대부분이 반복적 일과들 모임이듯이, 대부분의 함수들은 주기적인 함수들의 급수로 표시된다. 하여 T > 0에 대하여, x ∈  [-T/2, T/2] => f(x) = Σn=−∞cne2πi((n )/(

T
)
)x
그 밖의 x 에 대하여는 f =0이라고 하면,
=> (T)/(2)(-T)/(2) f(x)e−2πi((n
)/(
T
)
)x
dx = (T)/(2)(-T)/(2)n=−∞cne2πi((n
)/(
T
)
)x
)e−2πi((n
)/(
T
)
)x
dx
=(T)/(2)(-T)/(2) cndx=cnT
=> cn=(1)/(T) (T)/(2)(-T)/(2) f(x)e−2πi((n
)/(
T
)
)x
dx,
f 는 [-∞, T/2]와 [T/2, ∞]에서 0 => cn=(1)/(T) F(f)((n)/(T)) => f(x)=  Σn=−∞ (1)/(T) F(f)((n)/(T))e2πi((n )/(

T
)
)x
,

마지막 식을 들여다 보면,
F(f)(s)e2πisx 아래부분의 직사격형들(밑변 1/T, 높이 F(f)((n)/(T))e2πi((n )/(

T
)
)x
) 면적들 합, 즉 Riemann sum이라는 것!
T → ∞ => f(x)= − ∞F(f)(ξ)e2πiξxdξ

* 미적분 얘기가 나온 김에...
(1) 차이의 정도를 나타내는 표준편차(standard deviation), 최소제곱법(least square method)에서 2라는 숫자.
차이의 정도를 표시하고자 하는데, 왜 절대값을 사용하지 않는가? 그리고 2가 아닌 4나 6은 안 되는가?
그것은 2가 미분가능한 최소의 숫자이기 때문.
미적분이라는 유용한 도구를 개발한 인간은 그걸 활용할 수 있는 효율적인 방향으로 학문과 이론을 발전시켜왔다는 것.
(2) 미적분 교과서에서 회전체의 체적(volume), 표면적(surface area) 근사접근 도형이 다른 이유
체적 계산할 때는 직사각형, 표면적을 계산할 때는 사다리꼴을 근사도형으로 회전시키고 그것들 합의 극한을 체적, 표면적이라고 정의한다. 왜? 다른 도형을 사용할까?
사다리꼴 접근이 제대로된 근사 접근 방법이다. 헌데 체적 극한의 경우 사다리꼴과 직사각형 접근방법 계산에 차이가 없기 때문이다. 사다리꼴보다 직사각형이 단순하고 계산이 간단하기에 어리석은 학생들의 공포심을 덜어주기 위한 것.


* 뉴튼 방법(Newton' method) 그리고 complete, compact space

(1) 방정식, 특히 아주 중요한 편미분방정식(Laplace, wave, heat equation 등 partial differential equation) 해법 연구를 위해 발버둥 친 결과, 원시적인듯 보이지만 직관적이고 가장 효과적인 것은 뉴튼 방법과(아래 그림) 같이 접근하는 수열을 만드는 것.

수식으로 표현할 수 없는 f(x)=0의 해에 접근하는 수열 xn+1=xn(f(xn))/(f(xn)) 만드는 방법과 그 수열 극한 limn→ ∞xn 이 해라는 것을 보여주는 뉴튼 방법.


(2) 우리 인간이 생각해낸 함수는 다항식(polynomial), 사인(sine), 코사인(cosine), 로그(log), 그리고 스텝 함수(step function) 등 20개도 채 되지 않는데, 다루어야 할 함수는 무수히 많다. 하여 생각한 방법이 다항식이나(Taylor series) 사인, 코사인 함수의 급수로(Fourier series) 표현되는가에 대한 연구로 방향을 잡으니 나오는 것들이 함수 수열들....

그러다가 떠오른 문제: 해가 될 가능성 많은 (수열의) 그 극한 함수가 작업하고 있는 자체 영역 공간에 존재하느냐는 것. 예를 들면, 기존 함수의 극한인 Dirac delta function은 기존 함수가 아닌 generalized function(또는 distribution)이라고 불리는 별종. 수학자들에게는 호재의 논문거리 연구 대상이 아닐 수 없다.
그래서 나온 개념들이 Cauchy sequence의 극한 존재하는 공간을 complete space, 수열이 있으면 항상 극한이 존재하는 compact space, sequentially compact 뭐니 유사 정의 등 정작 중요한 미분방정식 해는 구하지 못하고 빠진 샛길 연구.


* Riemannian metric(리만의 자)
흔히 사람들은 학문 발전과 현실 상황을 전혀 다른 동 떨어진 것으로 생각한다, 특히 조선인들은. 그렇지 않음이 마이켈슨-몰리 실험과 그에 따른 상대성이론 발달사에서 드러났음에도 불구하고. 가우스(K. Gauss)는 하노버 도시 측량하는 중에 유클리드 기학이 적용할 수 없음을 알게 되고 실용 기하(즉, 비유클리드 기하학) 연구를 하게 되었다.

자를 가진 사람이 적도에서 북극으로 여행한다고 하자. 지역에 따라 기온 차이가 다르니 눈으로 인식하지 못하겠지만 지니고 있는 자가 '늘어났다 줄어들었다' 할 것. 즉 지구의 각 위치에 따라 자의 길이가 변화한다. 그를 수학적으로 표현하면 위치에 따라 변하는 기준자(norm), 헌데 norm은 표준 편차, 최소제곱에의 경우와 마찬가지로 제한적이기에 내적(inner product)으로 표현한 것이 리만의 자.
무한소적으로(infinitesimally)으로 얘기하면, 각 점마다의 접평면(tangent plane)위에 정의된 내적.

출처: Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, 1854, by B. Riemann


* Maxwell's equations

∇·E = (ρ)/(ε0)  --------(1) Coulomb 또는 Gauss' law
∇·B = 0  ---------- (2) Gauss' law
∇×E =  − (B)/(t)  ------ (3) 패러디 법칙(Faraday' law)
c2∇×B = (j)/(ε0)+(E)/(t)   -----(4) Ampere's law

위 4개 방정식을 맥스웰 방정식이라고 하는데, 각각 별도의 기여자 이름이 붙어있다. 그렇다면 도대체 맥스웰이(패러디의 제자) 한 게 뭔가라는 의문이 들지 않을 수 없는데, 그에 대한 해답은 온전히 암페어(Ampere) 법칙이라고 부를 수 없는 4번째 방정식에서 찾을 수 있다.
암페어가 처음 발견했다는 식은

∇ × B=μ0 j ----- (5)

맥스웰은

(1) 패러디 발견을 (3)과 같은 수학적 표현으로 정리하고 암페어 법칙도 On Physical Lines of Force에서(1861년) 도출해내고(출처: 암페어 법칙과 맥스웰)
간단한 (1), (2)와 달리, 복잡한 (3)과 (4)를 간결하게 수학적으로 도출/표현해 냈다는 자체가 대단한 업적.
그로부터 수학적으로

(2) 기존의 암페어 법칙(5) 양변에 divergence, ∇·를 가하면 생기는 0 = μ0∇·j ≠ 0 이라는 모순을 해결하기 위하여, ·j = - (ρ)/(t) 를 주목하고 등식이 성립하도록 (E)/(t) 을 첨가하여 모순을 제거하였다는 것. 즉 전기, 자기의 연결고리를(missing link) 발견한 것(비교: 마이켈슨-몰리 실험결과를 설명하기 위하여, 로렌쯔 전환이 고안된 것 그리고 Galois가 5차 이상 방정식의 radical solution 관련 field를 sovable group에 대응시킨 것 등)

(3) 그리고 그 결과로 전자기 포텐셜이 파동방정식을(wave equation) 만족하며 빛의 속도라는 것을 입증

위 4개 방정식으로 맥스웰이 정리하기까지 가우스, 리만, 포아송(Poisson), 그린(G. Green) 등 많은 사람들이 연구하였다. 그 중에서 포아송 연구를 더 발전시킨 그린이 1828년 'An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism'에 발표한 수학적 결과가 그린 정리(Green' theorem)
맥스웰이 'A treatise on electricity & magnetism' Vol 1(페이지 126)에서 정리 증명(Green function과 함께)을 다루었지만, 역시나 쉽고 직관적인 증명은 파인만의 'The Feynman Lectures on Physics', Vol II, 3-9에 있다, 그린 정리의 일반화/확장인 스토크 정리(Stoke's theorem)까지 덤으로.

파인만은 뉴튼의 접근방법에 따라 미세하게 잘게 쪼개고 그들 합의 극한을 취하는 적분의 기본 정의, 즉 Riemann sum을 활용했다(위 그림, 참조: 파인만은 path integral 연구에도 Riemann sum을 적절하게 적용)
그림 3-10의 사각형 선을 따라 line integral을 하면

cx(x, y)△x+cy(x+△x, y)△y-cx(x+△x, y+△y)△x-cy(x, y + △y)△y
= −{cx(x+△x, y+ △y)-cx(x, y)}△x+ {cy(x+△x, y)−cy(x, y + △y)}△y
=−{cx(x+ △x, y + △y)-cx(x + △x, y)+cx(x+△x, y)-cx(x, y)}△x+ {cy(x + △x, y)−cy(x, y)+cy(x, y)−cy(x, y + △y)}△y
≅ -(cx)/(y)(x + △x, y)△yx - (cx)/(x)(x, y)(△x)2+(cy)/(x)(x, y)△xy - (cy)/(y)(x, y)(△y)2

=>m=Mm = 0n=Nn = 0 - (cx)/(y)(xm + 1, yn)△yx - (cx)/(x)(xm, yn)(△x)2+(cy)/(x)(xm, yn)△xy - (cy)/(y)(xm, yn)(△y)2
M-> ∞, N-> ∞을 취하면,
(△x)2, (△y)2이 들어있는 항은 0이 되고 첫번째와 세번째 Riemann sum은  − (cx)/(y) + (cy)/(x)dxdy.
(cx)/(y) + (cy)/ (x) 는 ∇×C 의 z축 방향, 즉 (∇×C)⋅n.

ΓCds = S(∇ × C)nda

* 드브로이 물질파(De Broglie matter wave) 발견과 특수한 경우의 일반화

빛 입자(photon)의 파장(wavelength), 진동수(frequency)를 λ, ν, 모멘텀(momentum), 프랑크 상수(Plank constant)을 p, h 라고 하면, 그 에너지 E, 빛의 속도 cE=pc, E=hν, c=λν 라고 나타낼 수 있고, pλ 의 관계식

p=(h)/(λ)

을 얻는다. 드브로이가 한 것은 모멘텀 p 대신에 '모멘텀 정의' 즉, mv 를 대입한 것. 즉 빛 입자의 특수한 관계식을 일반 입자에까지 확장 적용하며 물질파라는 개념을 제시한 것. 특별한 경우를 연구, 발견된 성질이나 관계식을 일반적으로 확장적용한 성공적인 경우가 드브로이의 발견.
이런 과감한 드브로이 발상은 수학에서는 흔히 볼 수 있다. 널리 응용되는 예중 하나가 벡터 공간(vector space).
크기와 방향을 갖는 벡터는 화살표로 표시되고 내적(inner product)을 갖추고 몇가지 특질들을 가지고 있다. 여기에서 크기와 방향의 구체적 화살과 같은 구체적 그림을 그릴 수 없더라도 내적과 본질적인 몇가지 성질들...그것들만 가진 모든 추상적(abstract) 공간을 베터공간이라고 정의(예: 함수들 집합).
그리고 에테르에 대한 지구 속도 측정 불가능을 모든 현상에로의 일반화한 상대성 원리.


* 양자학적 의사결정 모델(quantum mechanical model on decision making)을 위하여- 2019.9.12
'The trouble with quantum mechanics is not only in solving the equations but in understanding what the solutions mean!'라고 파인만이 했듯이, '꿈보다 해몽'

원자는 진동체(oscillator)이므로 모든 물질은 진동체들의 집합체. 인간의 섬세한 각각의 (일시적) 감정을 표현하는 각 단위를(또는 같은 '감정 표현단위'들의 뭉침) 하나의 진동체라고 가정하면,

1. 각 oscillator는 고유의 '공명 진동수(주파수)'(resonance frequency)를 갖는다. 수식으로 설명하면, 아래 진동식에서(forced oscillator, 즉 외부의 영향이 있는 경우)

m(d2x)/(dt2) + c(dx)/(dt) + kx = F0cos(ωt) , 외부에서 작용하는 힘 또는 영향력

x의 진폭은 ωω0(= ((k)/(m) 의 제곱근, 공명 진동수) 에 아주 가까울 경우에만 두드러지게 커진다는 얘기다(참조 [1]). 따라서, 인간의 특정한 감정을 일으키려면 공명 진동수와 아주 근접한 자극을 주어야 한다, 비유하자면, 특정 주파수에 고정된 라디오는 특정 주파수의 방송국만 청취할 수 있다는 것.

2. 어떤 사건에 대하여 인간이 느끼는 감정은, 대부분의 경우, 단순치 않은 여러 감정이 얽힌 복잡하다. 그 것은 다음과 같이 설명할 수 있다.
어떤 사건은 외부의 영향/힘이 일반적인 함수 F 인 경우고...
(1) 위 1의 미분방정식은 선형(linear)이고,
(2) F 는 cosine, sine 함수들로 분해될 수 있다는 것
(3) 그리고 위 1에서의 '공명 진동수 근처에서만 영향이 크다'는 것으로 부터
(4) 근사해(approximate solution)는 cosine 함수가 외부의 영향/힘인 위 1과 같은 방정식의 해들의 합이니(superposition)...
여러 진동체들의 공명의 합이 바로 복잡한 감정으로 나타나는 것으로 채널을 고정한 라디어 여러대를 동시에 듣는 것과 같다.

3. 전자장내 암모니아 분자 에너지 변화(energy transition of an ammonia molecule through an electric field)와 인간의 생각 전환

(1) 암모니아 분자 상태는 오로지 'I, II ' 2개 상태의 선형조합(linear combination) 경우 밖에 없다고 가정하고(이를 two-state system이라 한다).
(2) 분자가 상태 I, II 로 전환할 확률을 각각 CI , CII 라 하고,
(3) 전자장(electrice field) ε을 가하는 경우,
(4) 해밀토니안 방정식(Hamiltonian equation)이라 불리는 CI , CII의 관계식은 다음과 같이 주어진다.

i(dCI)/(dt) = (E0 + A)CI + μεCII
i(dCII)/(dt) = μεCI + (E0 − A)CII

여기서 EI = E0+(A2 + μ2ε2), EII = E0-(A2 + μ2ε2): 안정적 상태(stationary states)인 I, II 의 확고한 에너지(definite energy), ε=2ε0cos(ωt), 2A = EI- EII=ℏω0, μ : 분자의 dipole moment

일정기간(T) 사이에 상태 I 에서 II 로 바뀌는 '대충' 확률은 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 형태인

((με0T)/())2 (sin2([ω − ω0)(T)/(2)])/([(ω − ω0)(T)/(2)]2) .

또 다시 눈여겨볼 것은 전자장의 진동수 ωω0(resonance frequency)에 아주 근접해야만 상태 전환 가능성이 커진다는 것(자세한 것은 참조 [2]).

위 결과를 인간에 대응시키자고 하면,
상태 I, II 는 확고한 에너지를 갖는 안정된 상태인 것으로 평형상태를 갖는 인간 정신 상태로 생각할 수 있다. 그리고 그 평형상태는 쉽게 다른 평형상태로 바뀌지 않는다는 것이다, 선입견(prejudice), 즉 일단 주입된 생각은(I가 되든 II가 되든) 좀처럼 바뀌지 않는다고 하듯이.

4. Topological view of a molecule에 덧붙여.
항상 떨고 있는 분자들인 수많은 효소들이 아주 정확하게 '붙었다, 떨어졌다'를 반복하며 생명체내의 신호전달하는 것을 보면, 각 분자들은 특정한 진동수에만 반응하는 진동체 역할하는 부분이 있고 그 반응 가능 진동수 범위가 극히 좁기에 효소의 정확성이 그렇게 높은 것.

참고 문헌
[1] Feynman Lectures on Physics, Vol I chapter 23-25
[2] Feynman Lectures on Physics, Vol III 9-13